Integración (matemáticas)

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Matemáticas

Generalidades. El concepto de integral, en forma primitiva, ya se encuentra en los métodos que empleara Arquímedes (250 a. C.) para el cálculo de las figuras limitadas por arcos de parábolas. Pero es en la obra Estereometría de Kepler (1615) donde se presenta la manera de calcular áreas (v.) y volúmenes (v.) por descomposición en partes elementales, con cierta semejanza a los métodos empleados posteriormente para la definición de la integral. También Cavalieri (1653) hace uso de tal descomposición para enunciar su famoso principio de equivalencia entre pirámides de la misma altura y bases de igual área.

Los problemas del cálculo de áreas por límites de sumas, y de tangentes a curvas como límites de cocientes incrementales, se unifican por Barrow (1669) probando que el área como función (v.) del extremo del intervalo de i. es una primitiva de la función que se integra, cuando ésta es continua (V. CÁLCULO III y IV). Estos dos cauces para el concepto de integral, que se unifican momentáneamente, son las dos vías de generalización del concepto en la evolución de la Matemática. Todo progreso en la integral como "medida" (v.), tiene una réplica en el progreso de la integral como "función primitiva", buscando siempre que se cumpla la regla de Barrow.

El desarrollo de la integral como instrumento de cálculo es obra genial de Newton y Leibniz, en cuyos trabajos revela ya toda su potencia. Sin embargo, una formulación rigurosa no llega hasta Cauchy (v.). En primer lugar se ocupa éste de funciones f(x) continuas en un intervalo [a, b]. Para definir la integral, establece una división del intervalo de variación de x, por los puntos

a=xp< x,<...<x?_I

nn ~mi(xi-xi-1) y M¡(xi-x¡-I) u

i=1i=1

donde mi y Mi son el mínimo y máximo de la función f(x) pn el intervalo

[x1_1, xil.

Cuando la amplitud máxima S de los subintervalos tiende a cero, las dos sumas anteriores tienden al mismo límite que es la integral

b

f(x)dx.

Si en un punto

c E [a, b]

(o en un número finito de puntos) es f(x) discontinua, Cauchy generaliza el concepto, y define la integral por

b-"-"b

f(x)dx= lím If(x)dx+ 1ímf(x)dx, cuando tales límites existen.

Dejando aparte el concepto de integral de Dirichlet, es Riemann (v.) quien considera directamente la integración de funciones f(x) discontinuas pero acotadas en un intervalo [a, b] . La técnica que sigue es análoga a la de Cauchy, y forma las sumas inferiores y superiores, pero en ellas mi y Mi ya no son mínimos y máximos sino ínfimos y supremos de f(x) en

Ixi. x1 11.

En general, las sumas inferiores y superiores no tienden hacia el mismo número, al afinar la partición del intervalo [a, bl. Las funciones para las cuales dichas sumas tienden hacia el mismo número son las funciones integrables según Riemann, y el número hacia el que tienden es la integral, también según Riemann.

Medida de conjuntos. La ampliación del concepto de integral a funciones reales f(x) más generales, cuyo dominio pertenezca a un espacio euclídeo n-dimensional R" (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS II), con un campo de integración distinto de un intervalo, hace necesario definir una medida de conjuntos (v.) que generalice los conceptos clásicos de longitud, área y volumen. Para definir una medida se habrá de hacer corresponder a cada conjunto un número real positivo o nulo, de tal forma que cuando un conjunto sea unión de conjuntos sin puntos comunes, su medida sea igual a la suma de las medidas de los componentes. Además, cuando el conjunto sea un intervalo, su medida habrá de coincidir con la longitud, el área o el volumen correspondiente.

Se puede decir que M. Jórdan (1838-1922) es el primero que construye una medida para conjuntos de puntos. Dado un conjunto acotado, se cubre con un número finito de intervalos; calculadas sus medidas y sumadas, se tienen aproximaciones superiores de la extensión del conjunto. Análogamente se procede tomando los intervalos interiores al conjunto, y se obtienen aproximaciones inferiores de la misma extensión. El ínfimo de las aproximaciones superiores y el supremo de las inferiores, se denominan respectivamente contenido exterior y contenido interior del conjunto. Cuando coinciden los dos contenidos (lo que ocurre solamente para conjuntos especiales) el valor común se denomina contenido o medida según Jordan.

Para la mayoría de los conjuntos queda sin resolver el problema de la medida con la de Jordan. La contribución genial de Borel (v.) al problema fue admitir como recubrimientos del conjunto cuya media se trata de precisar, los que tienen una infinidad numerable de intervalos. H. Lebesgue, 1875-1941, perfecciona la teoría, y define una medida exterior de un conjunto acotado, considerando tales recubrimientos nunierables, calculando las sumas de las medidas de los intervalos, lo que da lugar a aproximaciones superiores de la medida del conjunto, y hallando el ínfimo de tales aproximaciones. Para definir una medida interior, considera un intervalo en el que esté contenido el conjunto, y determina la medida exterior del conjunto complementario del dado, respecto del intervalo que lo contiene, y resta de la medida de este intervalo la exterior hallada. La igualdad de las dos medidas da la condición para que un conjunto sea medible según Lebesgue, y el valor común es su medida. La clase de los conjuntos medibles es muy amplia y suficiente para la teoría de funciones. La definición se generaliza fácilmente a los conjuntos de medida infinita.

A partir de la definición anterior se pueden establecer las siguientes propiedades: 1) La clase de los conjuntos medibles contiene el vacío y al espacio total, a las diferencias de dos conjuntos medibles, y a las uniones numerables de conjuntos medibles, lo que se expresa diciendo que forman una u -álgebra de conjuntos-. 2) La medida de conjuntos es una aplicación (v. ANÁLISIS MATEMÁTICO i) de la clase de los conjuntos medibles en el conjunto de los números reales positivos junto con el +x, tal que la medida del conjunto vacío es cero, y la medida de la unión de una infinidad numerable de conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, es igual a la suma de las medidas (aditividad completa).

LI!Itas proposiciones tomadas como axiomas pueden servir para la construcción de una teoría general de la medida. En particular si en R" a las propiedades anteriores se agrega que la medida del cubo fundamental

O_<xi_<l,i=1, 2, ..., n,

es igual a 1, queda caracterizada la medida de Lebesgue. Otras propiedades notables de la medida son: a) La medida del conjunto límite de una sucesión (v.) decreciente de conjuntos medibles de medida finita es igual al límite de la sucesión de sus medidas. b) La condición necesaria y suficiente para que un conjunto C sea medible es que cualquiera que sea el conjunto A se verifique:

med. ext. A=med. ext. (A (1 C)+med. ext. (A-C). Funciones medibles. Después de haber precisado el concepto de medida, es necesario determinar cuáles son las funciones para las que se puede definir la integral, que son las llamadas funciones medibles. Una función real f(x) cuyo dominio X es un conjunto medible, se dice que es una función medible, si para cada número real c, el conjunto de puntos de X para los cuales es

f(x) > c

es medible, lo que también se puede expresar diciendo que para cada c, la antiimagen del conjunto (c+~), en la función f es medible. De esta definición se deduce que si f(x) es medible, son medibles las antiimágenes de cualesquiera intervalos, abiertos o cerrados, del eje real del recorrido de la función.

Construcción de la integral. Sea f(x) una función real definida en un conjunto

XCR,,

que es medible y acotado (v. figura). Se supone que f(x) es acotada y medible. Sean A y B los extremos de f(x) , recorrido de la función. Se establece una división del intervalo [A, B] en el que está contenido el recorrido de la función, por los puntos

A= yo <y,<...<yn-I

y se designa por X; la antiimagen del conjunto de valores de y= f (x) que están contenidos en el intervalo

[y¡-I, Y¡].

Como la función f(x) es medible, el conjunto Xi es medible, y su medida se designa por med (X;). Finalmente se forman las sumas:

nn y;_I-med(Xi) y yt-med(X;) (aproximaciones inferior y superior de la integral), y se prueba que cuando la amplitud máxima S de los subintervalos de la división de [A, B] tiende a cero, las dos sumas tienen el mismo límite que es la integral, según Lebesgue, de la función f(x) en X, y que se designa por f(x) dx

.,x

La integral así definida tiene las propiedades ordinarias de aditividad respecto de la función, respecto del conjunto sobre el que se integra, propiedades de monotonía, de la media, etc., pero también tiene algunas peculiares, tales como:

a) Si el conjunto X es unión de una infinidad numerable de conjuntos medibles, la integral sobre X es igual a la suma (serie) de las integrales sobre los conjuntos que lo forman.

b) Si las funciones fn(x) de una sucesión Son medibles en X y acotadas por un mismo número, cualesquiera que sean x E X y n, y si la sucesión es convergente hacia f (x), se tiene:

límfn(x) dx=f(x) dx. n ~.

f f xx

En las generalizaciones modernas de la integral se parte de un espacio fundacional y se estudian las aplicaciones del mismo en el cuerpo de los números reales, en el de los complejos, en un espacio vectorial, etc., que cumplan las propiedades específicas de la integral.

V. t.:FUNCIONES(Matemáticas);CONIUNTOS,TEORíADE; CÁLCULO IV.

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.: H. LEBESOUE, LeCons sur Cintégration et la recherche des fonctions primitives, 2 ed. París 1928; C. CARATHEODORY, Vorlesungen über reele Funktionen, 2 ed. Nueva York 1948; S. SAKS, Theory of the integral, 2 ed. Varsovia 1937; P. R. HALmos, Measure Theory, Prineeton; N. BoURBAKI, Intégration, Act.