Hilbert, David

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Biografía GER

Matemático alemán n. en Kónigsberg el 23 en. 1862 y m. en Gotinga el 14 feb. 1943. Es uno de los más grandes matemáticos que registra la Historia, habiendo extendido su influencia por todas las ramas de la Matemática.

En el campo de la Lógica, H. fue el principal representante de la escuela formalista, que pretende reducir toda la Matemática a símbolos a partir de un sistema de axiomas. Mediante este sistema lógico la Matemática pierde su conexión con las restantes ciencias y se convierte en algo similar a un juego con reglas complicadas. Pero la dificultad fundamental con que tuvo que enfrentarse el formalismo radica en demostrar la consistencia de la Matemática, y explicar su significado, problemas ambos de muy difícil solución. Las teorías de H. a este respecto se encuentran contenidas en el libro escrito en colaboración con Bernays titulado Grundlagen der Matematik (Fundamentos de Matemática), publicado en 1934 (t. 1) y en 1939 (t. 2). No obstante, estos trabajos tienen un inconveniente fundamental: H. y su escuela reducen la no contradicción de la Geometría a la no contradicción de la Aritmética y pretenden hacer lo mismo con toda la Matemática, habiendo demostrado Gódel (v.) en 1931 que es imposible probar la no contradicción de la Aritmética a partir de la axiomática usualmente admitida.

Consecuencia de las ideas lógicas de H. es una fundamentación de la Geometría que publicó en 1899 con el título Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de Geometría), que es una de las obras más interesantes escritas sobre este tema.

En 1890 publicó algunos trabajos sobre invariantes, demostrando los teoremas de finitud de los sistemas fundamentales de invariantes enunciados por Gordan, mediante procedimientos de gran originalidad. En la demostración juega un papel primordial el denominado teorema de la base, que demuestra que todo ideal de un anillo de polinomios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado (v. ÁLGEBRA) tiene una base finita. Al probar este teorema emplea H. la primera demostración no constructiva utilizada en su época, demostración que hizo exclamar a Gordan: "Esto no es Matemática, esto es Teología".

Dentro de la Aritmética, H., al resolver en 1909 el problema de Waring (todo entero n mayor que cero se puede expresar como suma de un número mínimo g(s) de potencias de grado s de enteros mayores que cero) demostrando la existencia de g(s) para todo s, pero sin calcular ninguno, dio un paso que permitió a sus continuadores notables avances en esta rama de la Matemática.

H. se ocupó además de ecuaciones (v.) integrales, siendo prácticamente el creador de toda la teoría actual sobre este tema. Para su desarrollo precisó de la introducción de una nueva Geometría, construyendo los espacios conocidos actualmente con el nombre de espacios de H. Comprobó, además, que en muchos casos una ecuación integral es equivalente a una ecuación diferencial con unas ciertas condiciones de contorno, lo cual ha permitido hallar la expresión matemática de diversas cuestiones físicas. Tienen gran interés los problemas planteados por H. como fundamentales de la Matemática. Estos problemas han dado lugar al desarrollo de nuevas técnicas que en la mayor parte de los casos tienen, además, interés por sí mismas.

V. t.: CONJUNTOS, TEORÍA DE; GEOMETRÍA VI.

JOSÉ M. ABOCA.

BIBL.: E. T. BELL, Historia de las Matemáticas, México 1949; !D, Men ol Mathematics, Nueva York 1937; 1. REY PASTOR, Historia de la Matemática, Buenos Aires 1951.