Geometría VIII. Geometría Proyectiva.

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Matemáticas

El origen histórico de la G. proyectiva es la proyección central (v. VII). En el s. iv d. C., Pappus demostró, con recursos exclusivamente métricos, que la razón doble de cuatro puntos alineados es un invariante respecto de la proyección central. En el Renacimiento, Leonardo da Vine¡, Durero y otros, estudian las figuras geométricas desde el punto de vista de la Perspectiva, recalcando sus propiedades gráficas y distinguiéndolas de las métricas. En la Perspectiva implícitamente se hallan las dos operaciones que fundamentan la G. proyectiva: proyectar y cortar. Pues bien, el objeto de la G. proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que se conservan mediante proyección y sección.

Geometrías sintética y analítica. Para clasificar las distintas G., se han propuesto dos criterios: uno, basado en el método empleado, distingue entre G. sintética, si su punto de partida es puramente geométrico y se prescinde del álgebra, y G. analítica, cuando se introducen las coordenadas numéricas y se emplean los recursos del álgebra. De ambos métodos ha sido este último el más fecundo, ya que ha influido de forma decisiva en toda la Matemática, unificando la G., el análisis y el álgebra. El otro criterio atiende al contenido de los teoremas prescindiendo del método de demostración. Fue F. Klein, en su famoso curso explicado en la Univ. de Erlangen en 1872, quien, al tomar el concepto de grupo continuo de transformaciones para clasificar las diferentes clases de G., señaló que la diferencia existente entre la G. sintética y la analítica era tan sólo cuantitativa y no esencial, ya que la analítica no podía, sin dejar de ser G., prescindir de la representación geométrica, ni la sintética avanzar más de donde había llegado, sin expresar con fórmulas algunos de sus resultados. La división entre escuela sintética pura y escuela analítica pura sin más razón que la pureza del método y no la naturaleza del contenido era un artificio estéril. Por fortuna tales ideas fueron superadas. A mediados del s. XIX, se logró construir una G. proyectiva puramente sintética de modo completo por obra de K. Staudt (v.). Se impuso el basar todos los razonamientos en la noción de número, y la G. analítica, de mero instrumento del razonar geométrico, pasó a ser una rama de la Matemática, que no sólo permite interpretar geométricamente los resultados, sino que a menudo actúa cono principio director que sugiere y hace comprensibles los resultados analíticos. La introducción de las coordenadas homogéneas permite desarrollar analíticamente la G. proyectiva. Se da una définición analítica pura del punto y de la recta, demostrándose que una transformación proyectiva de un plano en otro viene dada analíticamente por un sistema de ecuaciones lineales.

Aportaciones de la Geometría proyectiva. Un breve esbozo histórico ayudará a comprender el papel desempeñado por la G. proyectiva en toda la Matemática. N. Bourbaki sitúa la edad de oro de la G. proyectiva entre la publicación de la G. descriptiva de G. Monge (1795) y el Programa de Erlangen de F. Klein (1872). Esquemáticamente, las aportaciones de la G. proyectiva son: 1) Noción de elementos ideales (impropios o del infinito: punto, recta y plano), introducidos por G. Desargues en el s. xvtt, pero no utilizados sistemáticamente hasta J. V. Poncelet, ya en pleno s. XIX. 2) Monge y Poncelet introducen la G. proyectiva compleja y la noción de punto imaginario, y es el segundo quien enuncia el principio de continuidad que puede considerarse, en cierto sentido, como un precedente de la noción de especialización de la G. algebraica y moderna. Esto lleva a Poncelet a la conclusión de que en el espacio proyectivo complejo todas las cónicas (v.) y cuádricas (v.) no degeneradas son de igual naturaleza y le conduce también al descubrimiento de los elementos isótropos y al del círculo absoluto, cónica imaginaria del infinito por la que pasan todas las superficies esféricas. 3) Las nociones de transformación puntual y de composición de transformaciones (v.). Poncelet sistemáticamente reduce las propiedades de las cónicas a las de la circunferencia mediante proyección y, análogamente, las de una cuádrica a las de una esfera y da los primeros ejemplos de transformaciones birracionales de una curva en sí misma. Independientemente, A. F. Moebius y M. Chasles definen las transformaciones proyectivas mediante la razón doble. La teoría de la dualidad se formula con toda claridad, y es Poncelet quien la usa como método general de transformaciones por figuras polares recíprocas. Desde el comienzo de la G. proyectiva se distinguió claramente la diferencia entre propiedades métricas y propiedades proyectivas, y fue quizá el primer antecedente de la moderna noción de estructura. E. Laguerre determina el ángulo de dos rectas mediante la razón doble de éstas y de las rectas isótropas que pasan por el punto de intersección de aquéllas. A. Cayley observa que las propiedades métricas de una figura plana no son sino sus propiedades proyectivas asociadas a los puntos cíclicos.

Aparición de geometrías no euclídeas. La aparición de la G. no euclídea hiperbólica en forma axiomática y sintética sin ligazón con la proyectiva no despierta ningún interés ni en la escuela francesa ni en la alemana. Pero en 1870, las G. no euclídeas, gracias a la difusión de la obra de N. I. Lobachevski, de la publicación de la de K. F. Gauss y de la lección inaugural de G. F. Riemann (1854), pasan a primer plano. Como ya se ha señalado, en 1848 publica Staudt un tratado sistemático completo de G. proyectiva, provocando el asombro de sus coetáneos por la armonía de su construcción. Sus esfuerzos esclarecieron el papel del cuerpo de escolares reales y complejos en la G. proyectiva, introduciendo la concepción actual de la G. sobre un cuerpo base arbitrario. A. L. Cauchy, J. Plücker, Cayley y Moebius continúan desarrollando los métodos analíticos de la G. proyectiva.

Las nociones de grupo y de invariantes señalan que los teoremas de la G. métrica se reducen a expresar relaciones idénticas entre invariantes del grupo de las semejanzas y, los de la G. proyectiva, las del grupo proyectivo. Con Klein se abandona la lucha estéril entre los geómetras de tendencia sintética y los de tendencia analítica. Las G. se clasifican estructuralmente por el grupo de transformaciones que utilizan: grupo lineal, para la G. proyectiva; grupo ortogonal, para la G. métrica. Pues bien, esta claridad hace que la G. clásica (con excepción de la algebraica y de la diferencial, a partir de este momento constituidas en ramas autónomas) quede definitivamente organizada.

Los nuevos métodos. El progreso de la teoría de invariantes (al menos para los grupos clásicos), desarrollada por Gordan, abre nuevas perspectivas que conducen al álgebra moderna a través de la contribución de D. Hilbert. La G. algebraica continúa siendo objeto de vivo interés matemático, y la diferencial, que después de M. S. Lie y J. G. Darboux pareció que iba a perder importancia, gracias a la aportación de Elie Cartan con sus ideas sobre los espacios fibrados y los problemas globales, ha sido revitalizada. Basta recordar a Rham, Hodge, Lichnerowicz, Nomizu, Kahler, Weil, Godement, Milnor y otros. Hasta 1900, la G. elemental y la proyectiva parecía que continuaban siendo ramas vivas de la Matemática y sólo en años recientes han dejado de ocupar un lugar destacado en la enseñanza universitaria. Después del Programa de Erlangen las G. euclídeas y no euclídeas, desde el punto de vista algebraico, se han transformado en lenguajes sugestivos de la teoría de las formas lineales. La G. clásica ha abandonado su papel de ciencia autónoma y ha pasado a ser el lenguaje universal flexible, cómodo y sugestivo de la Matemática de hoy.

V. t.: TRANSFORMACIÓN (Matemáticas); ESPACIOS MATEMÁTICOS V; GRUPOS, TEORÍA DE.

GONZALO G. LÓPEZ DE HEREDIA.

BIBL.: D. J. STRUIK, Analytic and Projective Geometry, Reading, Mass. 1953; P. ABELLANAs, Geometría básica, Madrid 1961; R. 1. BUMCROT, Modern Projective Geometry, 1969; J. A. TOLD, Projective and Analytical Geometry, Nueva York 1946; W. V. D. HODGE y D. PEDOS, Methods oj Algebraic Geometry, 1, Cambridge 1947.