Fluidos, II. Dinámica de Fluidos FÍS.

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Física

1. Introducción. La fecundidad de los físicos en la primera mitad del s. XX descubriendo hechos experimentales y modelos teóricos nuevos ha sido extraordinaria. Y, sin embargo, salvo el estudio, y no totalmente, de la superfluidez del helio, fenómeno que ocurre a muy bajas temperaturas, la formulación de la d. de f., esencialmente establecida en el s. XIX, sigue siendo básicamente tan válida, y en cierto sentido tan impotente, como entonces. Parece, pues, inadecuado considerarla como una teoría "clásica". Por otro lado, muchos de los avances tecnológicos, que han cambiado y cambian tan radicalmente la vida del hombre, se deben, en parte, a complejos análisis de esa d. de f. La aviación, por ejemplo.

Arquímedes (s. III a. C.),Mariotte (1686), Newton (1687), la familia Bernouilli -Johann (1720), asociado de Leibniz, y sobre todo su hijo Daniel (1738)-, Euler (1727), D’Alembert (1752), Lagrange (1760), Navier (1821), Poiseuille (1823), Reynolds (1834), Stokes (1845), lord Kelvin (1848), Helmholtz (1858), Rankine (1863), Kirchhoff (1869), Boussinesq (1871), Rayleigh (1878), J. J. Thomson (1879), Mach (1880), Couette (1889), Jukovski (1890), Poincaré (1893), Bjerknes (1898), Sommerfeld (1900), Kutta (1902), Prandú (1904), Kármán (1904), Bénard (1908), Taylor (1915), Heisenberg (1924), Friedrichs (1929), Ertel (1931), Sedov (1935), Kapitza (1938), Loitsyanski (1939), Landau (1941), Kolmogorov (1941), Bogoliubov (1946), etc., son nombres ilustres en el desarrollo de esta disciplina. Un tercio de sus Principia (libro 11) dedica Newton a los fluidos.

La d. general de los medios continuos y, de hecho, todas las teorías de campos -clásicos o cuánticos- tienen sus comienzos en la d. de f., que no es, ni mucho menos, una ciencia acabada. Piénsese en "el gran problema de la turbulencia", como decía Sommerfeld (y de la turbulencia en un plasma (v.) está todo por hacer) o bien en la cuestión del origen e interacciones de las ondas de choque.

Las ecuaciones de la d. de f. son un ejemplo de teoría no lineal de campos. Poco se ha profundizado teóricamente, aunque mucho se ha hecho experimentalmente en sus consecuencias (sobre la turbulencia, p. ej.,), ausentes por completo de toda teoría lineal.

Como la d. de f. precisa desde el principio un formalismo matemático no elemental (al menos, necesariamente, el cálculo vectorial-tensorial, aparte de que el tratamiento de algunos problemas exige el uso de la más refinada matcMática actual), intentar presentar las nociones básicas e ideas directrices, de manera elemental, parece tarea difícil si no imposible. Sin introducir propiamente los conceptos como en una teoría de campos, se suelen enunciar casi irremediablemente proposiciones incorrectas o desorientadoras.

2. Diversos aspectos teórico-prácticos de una descripción semifenomenológiea. La noción de partícula fluida en la descripción microscópica. Al contrario de los cuerpos sólidos, de los que el modelo más sencillo es el sólido rígido (v. DINÁMICA), los cuerpos fluidos son muy deformables. Por ej., la atmósfera terrestre, el agua, tal vez la parte central de la Tierra, el Sol, las estrellas, los aceites, algunos combustibles usuales, la sangre circulando en el cuerpo, etc. Fuerzas extremadamente pequeñas aplicadas lentamente a su superficie (en líquidos) o en su seno (en líquidos y gases) pueden provocar grandes deformaciones de los mismos. A medio camino entre ambos se hallan los cuerpos plásticos, los cuerpos sólidos en fusión (del dominio ya de la Reología, v.), polvos, que a veces pueden ser tratados como f., sobre todo en ingeniería, introduciendo a posteriori factores de corrección, empíricos en general, a fin de adecuar a la realidad los resultados del modelo f. empleado.

Macróscópicamente lo primero que se intenta suponer de un f. es su continuidad y su homogeneidad, traducidas por condiciones matemáticas bien definidas, hipótesis que después se corrigen para poder estudiar también los fenómenos que provocan zonas de discontinuidad, como la cavitación o producción de huecos de vapor en el seno de un f. en movimiento, fenómeno responsable del "rateo" en las cañerías domésticas y que no es exclusivo de los líquidos; aparece también en los gases si el radio característico, a, de un cuerpo "extraño" a ellos moviéndose en su seno es grande comparado con el recorrido libre medio molecular (v. CINÉTICA, TEORíA) y su velocidad, V, es grande comparada con la velocidad molecular media, v. El índice

M= V(a/v) : a

proporciona la razón entre la longitud de la cavidad (hueco) y su radio. Por ej., para los meteoritos que entran en la atmósfera, M suele variar entre 25 y 175.

Se admiten, pues, las hipótesis: 1) la masa del f. está distribuida de manera continua; o sea, el límite:

p(P, t) =1ím á114(P, t) AV(P, t) AV(P, t) --> 0

existe y define una función, al menos continua, de las coordenadas de,P (punto del f.) y del tiempo; 2) la masa de una porción determinada del f. se conserva en el transcurso del tiempo, o sea, si una superficie cerrada E, contiene en el instante t, una masa M de f., su transformada 12 en t2 contiene la masa M (principio de conservación de la masa: vestigio de una formulación del s. XIX).

Esta continuidad es compatible con la consideración del f. como un agregado de partículas en movimiento (elementos infinitesimales de volumen, cuyas dimensiones, en particular, pueden ser tan pequeñas como se quiera frente al volumen global del f., sin que tengan nada que ver con las moléculas, átomos, etc., de una descripción microscópica, y cuya forma esférica, prismática, cilíndrica, etc., se escoge según la conveniencia de cada cálculo) pudiendo obedecer a la mecánica clásica (la única que aquí se considera) o a la relativista. Se sobrentiende así que cualquier porción de f. puede ser tratada según las mismas leyes que la totalidad del f. Es, asimismo, la hipótesis básica de la Termodinámica de procesos irreversibles, que cabe pensar engloba a la d. de f.

Asimismo: 1) todas las partículas que se encuentran en el instante t, sobre una línea continua y, se encontrarán en otro instante arbitrario t2 sobre otra línea continua y2. Si vt es cerrada, también lo será ’Y2; 2) codas las partículas que se encuentran en el instante t, sobre una superficie continua 11, se encontrarán en otro instante arbitrario t2 sobre una superficie continua Y-2; si 51 -s cerrada, también lo es £2; 3) si E,, t, y, en consecuenc a, 12, t2, son superficies cerradas, todas las partículas que en ti se hallaban encerradas por Y-, se encontrarán en t2 (y no habrá ni más ni menos) encerradas por 5-2

Realmente, el término partícula no debería figurar en una descripción microscópica continua, pero se utiliza para disponer, en una descripción elemental, de un lenguaje cómodo, evitando desde el principio el lenguaje de las teorías de campos. Esto no tiene nada que ver con que, a partir de una descripción microscópica, en términos de partículas propiamente dichas (moléculas, átomos...) mediante la Estadística (por referirse a un número muy grande de ellas -grados de libertad-) se llegue a los mismos enunciados, dando desde este punto de vista una delimitación a su dominio de validez, que sólo se podría conocer microscópicamente mediante la experiencia y el cálculo de errores. Solamente son objeto de medida los resultados microscópicos; los modelos microscópicos de un sistema microscópico son entes puramente imaginarios. En Física, para el teórico quizá "la realidad" sean esos modelos que reposan en los números, resultados de medidas y que constituyen "la realidad" del experimentador.

Compresibilidad. No hay cuerpos reales incompresibles; pero en una primera aproximación (en el caso de los sólidos más allá, incluso, de una primera aproximación), p. ej., pana líquidos sometidos a presiones inferiores a 200 atm. (en que la variación de su densidad no sobrepasa el 1%) y para gases fluyendo horizontalmente a velocidad inferior a 150 m . seg ’, se puede admitir que su densidad permanece constante (incompresibilidad) durante su evolución. Para el agua en estas circunstancias puede tomarse

p=103 Kg-m-3;

para el aire

p=1,225 Kg. M-3 (15 °C, 1 atm.).

Para tomar en cuenta la compresibilidad se puede adoptar en una primera aproximación

p=k (P - Po) Po

o bien

P =1+plk Po

siendo k el módulo de elasticidad (v.) de volumen. La forma un poco más general

P= p(p)

(muy restrictiva aún) definía usualmente el dominio más general de la Hidrodinámica del s. XIX. En la práctica, la incompresibilidad se supone siempre que se refiere a líquidos, introduciendo a posteriori coeficientes de corrección de origen empírico.

3. Dos descripciones diferentes: variables materiales (de Lagrange-Euler) y variables geométricas (de Euler). Discusión. a) Cinemáticamente lo que de un punto (aislado o no) interesa conocer es su vector (v.) de posición en cada instante respecto a un sistema de referencia, que aquí se supondrá cartesianc rectangular; siendo la descripción clásica, tal vector es

r=[x(t), y(t), z(t)](1)

Se definen asimismo su velocidad y su aceleración según

_ drdx dy dz

v - dt -dt ’ dt ’ dt ](2)

dv dZx d2y dzz

dt - [ dtz ’ dtz ’ dtz](3)

de modo que conocidos

j, vo=v(to), ro =r(to),

que es lo que usualmente ocurre, por integración de (3) se obtiene, finalmente,

r=r(ro, vo; t).(4)

Cuando se considera un f. (medio continuo) se dispone de dos posibilidades, ambas propuestas por Euler (Principes généraux du mouvement des fluides, 1755), pero que en la literatura científico-técnica se conocen como métodos de Lagrange (aquí de Lagrange-Euler) y de Euler:

1) En general, el vector de posición de un punto cualquiera del medio continuo tridimensional es una función vectorial

r=r(a, b, c; t)=(x, y, z).(5)

Los números (a, b, c) describen los puntos del f., se mueva éste o no; describen la materia y se denominan coordenadas de numeración (indebidamente, desde un punto de vista formal, porque el conjunto no es numerable), mientras que los números (x, y, z) relativos a un sistema geométrico escogido se denominan coordenadas de posición de los puntos numerados del f.

Si se fijan en (5) tres de las variables (a, b, c; t) haciendo variar la cuarta, se obtiene la representación de una curva (si t es variable la trayectoria del punto (a, b, c), o sea, la imagen del movimiento de esa partícula en todos los instantes). Si se mantienen dos de las variables constantes haciendo variar las otras dos se obtiene una superficie: si t y una de las otras tres varían se obtiene la superficie engendrada por el movimiento de una curva coordenada. Si se fija una sola variable y ésta es t, se obtiene una línea de f. en dicho instante.

Invirtiendo las (5) (v. FUNCIONES III):

a=a(r, t),b=b(r, t),c=c(r, t)(6)

si t=to las ecuaciones (6) definen en ese instante tres funciones cuyas superficies equiescalares numeradas, en particular

a=1,2-..; b=1,2-..; c=1,2--,

definen las superficies coordenadas materiales. Sus curvas de intersección son las curvas coordenadas materiales caracterizadas por las parejas

(b, c), (c, a), (a, b),

y los puntos de intersección son los puntos del f. caracterizados por los tres números (a, b, c). Para otro valor t=t,, dichas superficies se encuentran desplazadas y con ellas sus curvas y sus puntos de intersección. En un instante cualquiera t=to pueden escogerse superficies de numeración (6) tales que

(a, b, c) --> (ao, bo, co)

describan los puntos del espacio en reposo así como los puntos del f. en movimiento, permitiendo definir lo mismo un sistema fijo de coordenadas (a, b, c) en el espacio que un sistema móvil ligado al f. (material). En el método de Lagrange-Euler se relacionan ambos sistemas. Lo más sencillo es tomar como superficies de numeración en to los planos de coordenadas cartesianas rectangulares. Las superficies de coordenadas materiales son entonces superficies que en to coinciden con los planos del sistema cartesiano

a=x(to)=xo, 6=y(to)=yo, c=z(to)=zo.

Conviene no perder de vista lo particular de tal elección. La cascada (2) (3) da

v(a, b, c, t) =r, Út

i(a, b, c, t)= lltr7tz

2) Definida v(a, b, c) mediante (6) se puede renunciar a seguir el movimiento de cada partícula fluida "individualmente", observando únicamente la dependencia de v respecto a (x, y, z). Entonces para un valor dado de r,

c9t

caracteriza el cambio local de la velocidad (en un punto del espacio, como los meteorólogos hacen con una veleta, que indica dirección y sentido, y un anemómetro, que da el valor numérico) y que no corresponde a la aceleración de una partícula en movimiento que pase por el punto geométrico dado. Cada derivada

w Or

es el cambio de velocidad según la dirección de su eje correspondiente. La expresión de la aceleración es la misma en ambas descripciones.

b) Termodinámicamente las variables de estado para una partícula son p (densidad, a veces volumen específico

T=p-t

ambas dan origen al mismo sistema de superficies equiescalares aunque su numeración es diferente), P (presión), T (temperatura) ligadas por una ecuación de estado

X(p, P, T, A, B, ...)=0,(8)

donde A, B ... son parámetros que suelen variar de una partícula a otra (p. ej.: en el mar: índice de salinidad; en una mezcla de gases: diferencia de componentes y combinaciones químicas; en la atmósfera: índice de vapor de agua...). Cuando se da tal heterogeneidad, el sistema de Lagrange-Euler es el sistema natural, más cómodo que el de Euler. Los parámetros A, B, ... son funciones de las coordenadas de numeración (a, b, c).En el sistema de Euler no hay, por el contrario, variable alguna que permita expresar las diferencias entre partículas del f. Se opera así: si hubiese un solo parámetro, A, se le elimina entre (8) y

aX OX X

b+ P+-~-T=o.(9) Op JP OT

Si hubiese dos, A y B, habría que diferenciar aún la (9) eliminando así ambas, y así sucesivamente. Se obtiene una relación

,P(p, P, T, p, P, T, p, P, T, ...)=0(10)

de modo que la ecuación de estado en variables de Euler es una ecuación diferencial (10) mientras

que en variables de Lagrange-Euler es siempre una ecuación finita (8). Sólo para los f. sencillos (normalmente monocomponentes) resulta de interés la descripción de Euler. Las ecuaciones de estado

X(P, P, Po, A, B, ...)=0o bienX(P, T, To, A, B, ...)=0 (11)

sólo contienen una variable de estado aparte de la presión (Po, To son constantes; en particular, densidad y temperatura iniciales), de modo que el estado de la partícula depende únicamente de la presión: ecuaciones de piezotropía en el f. Se habla de f. piezotrópico si lo son todas sus partículas, o sea, si la primera de las (11) vale para cualquier partícula del mismo: tal f. no puede ser utilizado en una máquina termodinámica (f. puramente hidrodinámico: vestigio del s. XIX). Se define como coeficiente de piezotropía de la densidad el valor

dp

dP F

Por otro lado, se dice de una magnitud que es barótropa si sus superficies equiescalares (X=const.) coinciden con las superficies isobaras (P=const.) y se define el coeficiente de barotropía de la densidad como:

dp

I’ _l -[ dP Jc

Debe hacerse la siguiente distinción:

y: variable física (F) que da el incremento de la densidad de una partícula para un incremento de presión igual a la unidad.

v= y(P) 3 0,

variando de partícula a partícula; v=0 expresa la incompresibilidad en la partícula

dp dP=Ol.

r: variable geométrica (G) que relaciona los campos de densidad y de presión. I’=0 expresa la homogeneidad del campo de masa.

En variables de Lagrange-Euler la ecuación de piezotropía toma la forma

p=P(a, b, c; P),

mientras que en la descripción de Euler se prescinde de los parámetros mediante diferenciaciones sucesivas. En el caso de un solo parámetro, la ecuación en variables de Euler es

P = yP.

En general, la barotropía y la piezotropía pueden producirse independientemente una de otra, pero la piezotropía implica la barotropía cuando la ecuación de piezotropía no contiene ningún parámetro Po,A,B ... que difiera de partícula a partícula y, en consecuencia, las únicas diferencias de densidad al cambiar de punto-fluido sólo pueden provenir de diferencias de presión, en cuyo caso y=I’: barotropía forzada o autobarotropía; entonces, el intercambio de dos partículas arbitrarias no modifica el campo de masa, esto es, una de las partículas toma necesariamente la densidad de la otra y la individualización de las partículas pierde todo interés siendo en tal caso más cómodas las variables de Euler que las de Lagrange-Euler.

Ejemplo: el gas ideal. Su ecuación de estado es:

P=P(P, T, R)=P R-1 T-1(12)

donde R es la constante de los gases; en variables de Lagrange-Euler

R=R(a, b, c) --~ p=p(T, P, a, b, c)(13)

en variables de Euler

P T P

_+--0. (14) p T P

Si el sistema es homogéneo, R posee el mismo valor para todas las partículas y la ecuación de estado (12) puede ser utilizada en ambos sistemas (Lagrange-Euler y Euler) indistintamente.

Supongamos la ecuación de piezotropía

pp

Po= ( Po l(15)

donde Po y Po son presión en un instante dado y densidad correspondiente a esa presión e instante. Po puede variar de una partícula a otra; en variables de Lagrange-Euler

Po=Po(a. b, c)

y en variables de Euler (derivando respecto al tiempo)

(p1P)=n(P/P)

es decir,

!~ = yP,

siendo

y = n(P1P)=n(RT)-1.

El valor

n =(c?/cp) - 1,4

da las variaciones adiabáticas de estado de la partícula

T=To(P/Po)11-(C?/c,) 1

que se obtiene eliminando p entre (12) y (15); n=0 equivale a y=0: la partícula conserva su volumen mediante flujo calorífico con el resto; n=1 corresponde a variaciones isotermas: la temperatura se mantiene constante mediante flujo calorífico con el resto. Ni (12) ni (15) implican, en general, la barotropía del campo de masa, sino que la barotropía puede aparecer de manera independiente. Supongamos, p. ej., una relación de barotropía

p p m Po = ( Po ).

En (15) Po se refiere a la densidad de una partícula correspondiente a la presión Po, indicando cuáles han de ser las densidades de dicha partícula para otras presiones. En esta relación de barotropía, por el contrario, Po es la densidad en un punto del espacio al que corresponde la presión Po, expresando cómo varía el cociente de la densidad a la presión de un punto a otro. El coeficiente de barotropía es

F=M P =m(RT)-1;m=(c?/cp)

da la repartición espacial de la densidad según la ley adiabática; m=1 da la isotermia espacial; m-0 da la homogeneidad espacial del campo de masa. Si en uno de los casos se tuviese m=n, y en consecuencia 1-=y, habría autobarotropía; si, por el contrario, ms,-n la barotropía no puede presentarse sino accidentalmente (un caso importante es cuando

m=1, n=(c?/cp)=1,4

en que se habla de isotermia espacial, siendo adiabáticas todas las variaciones de estado de las partículas).

4. Campos asociados a la velocidad. Algunos teoremas sencillos. Si en todo punto

w

=o

í) t

(asimismo todo el espectro hidroaerodinámico:

. 8p =0el? =0...)

pt¿)t

el campo de velocidades, v, es estacionario y el movimiento se dice permanente. En ingeniería se habla de movimiento permanente siempre y cuando el modelo resulte útil, o sea, cuando las posibles desviaciones queden enmascaradas dentro de los límites del error o de la inercia de los aparatos de medida. En otro caso el movimiento es no permanente (transitorio).

La permanencia de un movimiento no excluye la variación de las magnitudes de una partícula fluida al cambiar de posición (punto geométrico), distinguiéndose entre movimiento permanente variado

(VA # VB, ..., PA -A Pa, .. ., PA 7(~ Pe, ..,A, B,..

puntos cualesquiera del espacio) y movimiento permanente uniforme (magnitudes independientes explícitamente de t y, además, del espacio: es el modelo que se intenta conseguir en los túneles hidráulicos; un observador fijo no registra cambio alguno aunque no son las mismas partículas fluidas las que pasan frente a él).

Sólo en el movimiento permanente equivalente a uno plano se confunden las trayectorias de las partículas con las líneas de corriente del f. (líneas tangentes en cada punto a la velocidad). En el caso general, las líneas de corriente, que indican el movimiento de todas las partículas en un instante dado, no coinciden con las trayectorias aunque son tangentes a ellas en cada instante en un punto que localiza la partícula.

Viscosidad. Cuando las partículas no se desplazan con la misma velocidad (realmente, siempre), debido a la influencia de las paredes, supuestas lisas, más o menos alejadas de la zona de estudio, ocurren intercambios de ímpetu entre ellas -rozamiento interno-: las fuerzas por unidad de superficie entre partículas yuxtapuestas no son perpendiculares a sus superficies de contacto, pudiendo interpretarse cada una de ellas como la resultante de otras dos: P, perpendicular a la superficie de contacto (presión existente incluso en reposo) y Tr, tangencia], que se opone al deslizamiento de la partícula que va más deprisa (respecto a la otra). Resulta un modelo más sencillo si consideramos un f. "perfecto": para cada partícula -porción de f.- se desprecian esas componentes tangenciales (f. incapaz de desarrollar esfuerzos elásticos tangenciales, o sea, carece de rigidez; gas o f. perfecto hidrodinámico, que es distinto de gas perfecto termodinámico). En ingeniería se suele utilizar este modelo para los f. reales, a fin de simplificar los cálculos e introduciendo al final correcciones teóricamente previstas o de origen empírico. De hecho, proporciona una imagen aceptable en el estudio de zonas de un f. real normal muy alejadas de las paredes (u obstáculos) o cuando su contacto con ellas se produce en una superficie muy pequeña, por ej., orificios de salida. En otras circunstancias (conducciones estrechas y largas) o debido a la textura del f. (aceite, glicerina), juega un papel esencial el rozamiento interno-viscosidad que, evidentemente, va acompañado de una disipación de energía (debido a esto, pudo Joule medir el equivalente mecánico del calor) que se traduce hidrodinámicamente en una caída de presión en la conducción (pérdida de carga; v. más adelante).

Otros fenómenos debidos a la agitación propia del f. en movimiento o a la agitación provocada de sus partículas (por obstáculos en el frente de una corriente, irregularidades de las paredes, etc.), que se suelen englobar bajo el nombre de turbulencia, también se interpretan por un intercambio de ímpetu entre partículas, debido a la aparición o existencia de velocidades parásitas transversales a la dirección de la corriente principal, lo que supone una acción de contacto complementaria, `fin. Evidentemente, para un f. perfecto

v - 0.

Asimismo, para todo f. en reposo (hidroaerostático) es

7T-V-0.

Parece ser que fue hacia 1835 cuando Poiseuille, interesado en el estudio de la circulación de la sangre, inició el análisis de la conducción de líquidos en capilares (diámetro = 0,1 mm.). En Alemania, Hagen realizaba independientemente análoga investigación, de modo que pocos años más tarde (1840) eran establecidas las leyes del flujo viscoso en tubos capilares, aunque el coeficiente n, introducido en las ecuaciones de Navier, no fue utilizado para la fórmula general de dicho flujo hasta 1860. Parece que fue Hagenbach quien lo denominó viscosidad. El problema matemático, en el caso de un tubo de sección cuadrada, fue resuelto por Navier y, en el caso general, por Stokes.

En Meteorología se observa que la dirección del viento junto al suelo no coincide con las isobaras a pesar de que las ecuaciones del viento geostrófico lo exigirían, interpretándose dicha desviación, en una primera aproximación, como debida a un rozamiento viscoso, 7r7~=0, airesuelo, sea o no Z9#0.

En el movimiento sencillo horizontal, si (F/S) designa la fuerza de rozamiento por unidad de superficie, de una capa horizontal de f. respecto a su inmediata inferior, y si Av es la diferencia entre sus velocidades y Ad su separación (tan pequeña como se quiera), la experiencia concuerda con la ley

[(F/S)1(Ov/Ad)]=const.[n] =M L-1 T-1;

? es el coeficiente de viscosidad (ordinaria o de superficie).

Una conducción se caracteriza por: p, densidad del f.; d, diámetro del tubo; 7?, coeficiente de viscosidad del f. (ordinariamente supuesto incompresible); v, velocidad (corriente). Es posible construir un número (adimensional) vp v

NR--d--. 77 vo

Y muestra la experiencia que según

NR < NR

(NR es el valor crítico de NR) el comportamiento del f. es radicalmente diferente (Reynolds). Si

NR < NR

(velocidades pequeñas): régimen laminar o de Poiseuille estable (`6=0: las capas del f. deslizan unas sobre otras sin entremezclarse); si

NR > NR

(velocidades grandes): régimen turbulento o de Venturi estable (`G=0: las capas de f. se entremezclan formándose remolinos). El valor crítico

NR = 2.400

(o su correspondiente en cada caso) puede ser sobrepasado manteniendo metaestablemente el régimen laminar: una sacudida basta para provocar la formación de remolinos (turbulencia). En particular, en tubos capilares el régimen del agua es siempre laminar, mientras que en las conducciones normales del agua de ciudad (d > 1 cm.) el régimen es siempre turbulento

(vo-nv-1p-1: parámetro de la conducción).

El resultado debido a Poiseuille para los tubos capilares se refiere a f. en movimiento laminar. Si la velocidad en los extremos del tubo es la misma y no se consideran actuando fuerzas externas, todo el trabajo debido a una eventual diferencia de presión

(P2-P1=caída de presión)

se invierte en vencer la viscosidad n del f. de modo que el gasto teórico en volumen vale

(P2-PI)dn

GG 2--,71

(Poiseuille) siendo d y 1 el diámetro y la longitud del tubo. Si el régimen fuese turbulento, una parte del trabajo de P2 -P, (y de la gravedad si, p. ej., el tubo no está horizontal) se pierde en crear remolinos por lo que GT < GI (teóricos).

En el establecimiento de tales leyes fenomenológicas o análogas, suele hacerse uso de sencillos razonamientos de Análisis dimensional (V. DIMENSIONES Y ANÁLISIS DIMENSIONAL). Así consideremos un f. en movimiento laminar y una esfera de diámetro d en reposo en su seno; puede, equivalentemente, suponerse el f. en reposo y la esfera cayendo dentro de él, p. ej. Sea R la resistencia que experimenta en su movimiento relativo al f. Con los parámetros p, d, v, n (admitimos que la longitud del tubo no influye) sólo es posible construir un monomio del tipo

[p"dBVCnD] - R,

donde

[R]=MLT-Z,[pl =ML-3,[dl =L,

[vl =LT-1,[n]=W-1T-1.

En una primera aproximación R - v o sea C=1, lo que conduce a que

A=0, B=D=1

por lo que

R-vdn

(ley de Stolces: usualmente empleada en los viscosímetros). Si la velocidad fuese relativamente elevada (no siendo válida la aproximación anterior) puede suponerse R - v2 o sea C=2, de donde

R = vzdzp,

es decir, la viscosidad deja de jugar papel alguno: la energía disipada, antes que contra la resistencia viscosa, se utiliza en producir movimiento turbulento (remolinos). Un parámetro de interés en la descripción del movimiento de un sólido en el seno de un f. es el coeficiente de arrastre (coeficiente de resistencia), p. ej.,

R

CD=_ pvzdi

para un cilindro:d, l, diámetro y longitud en función del NR.

El valor de n varía grandemente de un f. a otro y así se suele introducir para comparaciones el coeficiente de viscosidad cinemática o específica

v-’nlp

Con tal coeficiente para la temperatura ambiente de un laboratorio (= 25° C) el agua no difiere del aire sino en un factor 10. Para un mismo f. -q depende de su temperatura, de su densidad y de su presión; su valor suele ser mayor en la fase líquida que en la gaseosa. Para un gas, la viscosidad crece con la densidad, aunque no según una serie de potencias de la misma: en una primera aproximación, no depende de ella; crece asimismo con la temperatura para un gas, ocurriendo lo contrario en un líquido, lo que ingenuamente puede ser razonable si se piensa que un líquido tiende a pasar a gas al aumentar T (V. ESTADOS DE LA MATERIA III).

Es curioso observar que el mercurio, el más denso de los líquidos naturales, a T = 25° C y p = 1 atm., es uno de los menos viscosos.

En un f. perfecto incompresible no es posible hacer variar la temperatura por medios mecánicos, mientras que siendo compresible y viscoso tal cambio mecánico de la temperatura es posible a expensas de la compresibilidad y del rozamiento interno

5. En torno a un teorema debido a D. Bernouilli. En 1912 chocaron el trasatlántico Olimpic y el crucero Hawke, éste mucho más pequeño que el primero y más rápido. El Olimpic navegaba normalmente y, a un centenar de metros, pasó rápido el Hawke; como por una fuerza invisible, fue arrastrado hacia el Olimpic, incrustándose en su flanco. El capitán del Olimpic fue condenado como responsable del accidente por no haber dejado pasar al barco pequeño. Físicamente, el responsable fue el capitán del Hawke por haberse acercado excesivamente al Olimpic: un teorema de Bernouilli dice que cuando una conducción se estrecha, aumenta la velocidad y disminuye la presión; de aquí que ambos navíos se atrajesen y chocasen, al margen de la ley de atracción de Newton. Puede hacerse la sencilla experiencia: colocando dos bolitas muy poco pesadas casi juntas y soplando entre ellas, las bolitas tenderán a juntarse y a tocarse finalmente.

6. Capa limítrofe, límite o de contorno. Para una corriente (pv) en una conducción dada (d)

NR-->0

corresponde a

n--> 0

f. tanto más perfecto cuanto mayor es su NR. Esto no es apropiado en las zonas próximas a paredes u obstáculos. La velocidad v sólo puede mantenerse invariable junto a ellos en el caso de los f. perfectos (no reales). Para un f. viscoso (real), la velocidad en los puntos de contacto se supone nula (condición de contorno en la ecuación de movimiento, capítulo de gran interés y que no se aborda aquí).

Prandtl (1904) supuso que el gradiente vertical cuando v tiende a cero, sólo existe en una delgada banda de f. junto a la pared (hipótesis-modelo de la capa o banda limítrofe). En esta suposición NR puede variar grandemente en dicha capa, sin que la viscosidad se altere apreciablemente. El movimiento en ella puede ser laminar o turbulento, dependiendo esto del NR. Sobrepasado un valor NR, el movimiento primitivamente laminar se convierte en turbulento, acompañado de una disminución de CD (drag crisis). El valor de v tiene importancia, pues para v

NM--=1 c

(cuadro n° 1) la compresibilidad del f. comienza a contribuir considerablemente, jugando un papel estabilizador del movimiento laminar de la capa límite; p. ej., en el caso de una esfera el incremento de NY, de 0,3 a 0,7 retrasa la "crisis" de

NR=4x105 a NR=8x105.

En Meteorología, el espesor de la capa límite (estrato más bajo de la atmósfera, donde la velocidad del viento aumenta sin cambiar apreciablemente de dirección) señala la altura correcta de los anemómetros, tomándose el viento reinante en ese punto como el correspondiente al ras del suelo. La formación de remolinos detrás de un cuerpo en movimiento relativo, en el seno de un f. o en una conducción divergente, se interpreta fácilmente mediante el modelo de la capa límite; su desprendimiento implica una pérdida irreversible de energía.

Cuando se tienen en cuenta los fenómenos caloríficos, se habla asimismo de capa límite térmica, que a veces coincide con la capa límite viscosa en cuyo caso el mismo mecanismo es responsable del transporte de energía (f. caloríficos) y del transporte de ímpetu (f. de viscosidad).

7. Onda de choque (choque de presión o choque de densificaeión). Cuando v > c, siendo c la velocidad local del sonido en el f.

(Nmr-v1c> l),

la corriente se dice supersónica y es un caso del dominio exclusivo de los gases en el que la compresibilidad juega un papel importante y en el que se producen fenómenos que no ocurren para

v< 1,

corriente subsónica

NM - 1,

corriente transónica); p. ej., superficies de discontinuidad, como las ondas de choque, que se han llegado a fotografiar. En particular, la entropía (v.) aumenta al pasar de la región supersónica a la subsónica; hay disipación de energía -lo que supone físicamente cierto espesor de la superficie de discontinuidad- siendo éste el único mecanismo posible de disipación de energía en un f. hidrodinámicamente perfecto (sin viscosidad). Además, si a la llegada a la onda de choque el movimiento es irrotacional -corriente potencial- a la salida es, en general, rotacional.

8. Empuje aerodinámico. Sustentación de un ala. Cuando un sólido se mueve relativamente en el seno de un f. viscoso con velocidad v, si hay circulación en torno a él

(rot v=0)

experimenta un empuje dinámico perpendicular a v y distinto al de Arquímedes.

9. Valor de una analogía. En teoría cinética de gases, se supone que las moléculas se mueven aleatoriamente, siendo ésta la base del cálculo de n. Si en el movimiento turbulento de un f. se hace una hipótesis análoga respecto al movimiento de los remolinos -gas de remolinos sueltos- se puede calcular un coeficiente nA que se denomina coeficiente de viscosidad debida a la turbulencia y que se puede introducir macroscópicamente en la ecuación de movimiento, jugando un papel enteramente análogo al de n. Pero, mientras que n representa una propiedad física de la materia fluida, nA es una propiedad de la turbulencia, que puede variar de un punto a otro del espacio y con el tiempo: se la denomina asimismo viscosidad aparente. La analogía indicada se debe a Prandú, aunque dos viscosidades de tales sentidos ya fueron utilizadas por Helmholtz, Boussinesq y Reynolds.

Se demuestra, además, que nA depende, en general, de las correlaciones entre partículas microscópicas, separadas por una gran distancia (efectos colectivos) y corresponde a un intercambio de ímpetu microscópico entre algunas de ellas que ciertamente no pueden incluirse dentro de una misma partícula macroscópica fluida; se dice que es una variable "no local". Se asocia, asimismo, a un fenómeno no markoffiano (la "historia" del f. interviene en el presente). Por otro lado, n tiene signo determinado por razones termodinámicas (se introduce n >_ 0) mientras que en la turbulencia, en particular para los f. estratificados o en rotación, como ocurre en la atmósfera o en los océanos, por diversas circunstancias, los efectos inerciales en los "chorros" o en la "corriente del Golfo", pueden presentarse casos en los que, de acuerdo con la experiencia,

nA<0;

la analogía es, pues, conceptualmente incorrecta aunque útil para ciertos cálculos en Meteorología y en Oceanografía.

V. t.: ESTADO GASEOSO; GASES; ESTADO LÍQUIDO; MAGNETOHIDRODINÁMICA; REOLOGíA; ROZAMIENTO; TEORÍA CINÉTICA; HIDRODINÁMICA; AERODINÁMICA; HIDRÁULICA; MAGNETOFLUIDODINÁMICA; MAGNETOAERODINÁMICA; METEOROLOGÍA DINÁMICA.

M. G. VELARDE.

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