Estadística.economía. ECON.

Categoria:

Economía

1. Introducción: Si se consideran tres conjuntos de conocimientos científicos: Economía (E), Estadística (S) y Matemáticas (M), la intersección de los dos primeros conjuntos, es decir, los conocimientos de E. aplicados a la Economía, o el tratamiento de los problemas económicos por métodos estadísticos, constituyen la materia de la E. económica. Sin embargo, dentro de este campo científico debe separarse la parcela denominada Econometría (v.) que puede considerarse como una, ciencia autónoma, simbolizada por la intersección de los tres conjuntos S, E y M, por cuya razón se ha esquematizado el contenido de este artículo mediante la zona que aparece rayada en la fig. 1.

2. Contenido de la Estadística económica. Las e. económicas, o colecciones de datos numéricos referentes a hechos o a conjuntos de unidades económicas, constituyen, por sí mismas, un instrumento muy valioso para el análisis económico y originan metodologías específicas (sobre e. de población, consumo, transportes, producción y comercio exterior, p. ej.), encaminadas a la recogida y elaboración de datos de un sector o rama de actividad y diseñadas para que su agregación permita elaborar las cuentas, cuadros y matrices de una Contabilidad Nacional (v. CONTABILIDAD I, 2). Los organismos supranacionales, Naciones Unidas principalmente, suelen recomendar los criterios que han de seguirse por los distintos países para hacer posible la comparación internacional de las e. económicas.

Para resumir los datos de una e. económica se puede recurrir al cálculo de las características de una distribución de frecuencias, empleando los métodos ordinarios de la E. descriptiva (promedios principalmente), pero el análisis de la coyuntura o, más simplemente, el estudio de la evolución económica a corto plazo, se facilita de modo notable construyendo indicadores coyunturales que, en general, son números índices mensuales de magnitudes económicas.

La medición de los ciclos ha constituido una preocupación de los economistas de los últimos cien años, y los métodos clásicos para resolver el problema se basaron en el estudio de las series históricas, cronológicas o de tiempo; aunque todavía no se ha encontrado un método plenamente satisfactorio para precisar aquella medición, las aplicaciones de los procesos estocásticos y, más recientemente, del análisis espectral, prometen poder alcanzar una solución aceptable del problema planteado.

Para estudiar la dependencia o interdependencia entre dos o más variables económicas, se ha utilizado profusamente en el campo de la E. económica la regresión lineal y no lineal, y, aunque la moderna Econometría ha exigido la formalización de los métodos clásicos de regresión lineal múltiple y los ha generalizado para modelos de ecuaciones lineales simultáneas, aún se emplean aquellos métodos tradicionales en ciertas investigaciones estadístico-económicas. Dentro de estas aplicaciones tienen una grán relevancia las estimaciones de las elasticidades de la demanda-renta y demanda-precio.

Por último, a la estimación por métodos estadísticos de algunas funciones de la Economía, como las de producción, demanda, oferta, costes o de utilidad, y la aplicación de la E. al conocimiento de la distribución personal de la renta de un conjunto de personas o de familias, constituyen, en unión de los otros problemas anteriormente considerados, una lista de las cuestiones que delimitan sustancialmente el contenido de la E. económica.

3. Estadísticas económicas. Una "estadística" es un conjunto de datos referentes a cada uno de los elementos de un conjunto, población o universo (estas tres palabras pueden considerarse como sinónimas en la terminología e., aunque de ellas la más usada es "población") que pueden recogerse mediante una encuesta muestral o censal. Las encuestas muestrales generalizan a] total de la población los resultados conseguidos a través de una muestra, o parte de la población, empleando para tal inferencia los métodos recomendados por las técnicas de muestreo de la E. matemática (v. i). La elaboración de un censo no exige el conocimiento de la inferencia e., en tanto en cuanto es una investigación que toma directamente los datos de todos y cada uno de los elementos que pertenecen al conjunto que se trata de conocer estadísticamente.

Los censos de población y económicos (agrarios, de establecimia-tos o de edificios y viviendas, principalmente) con 3tituyen la base fundamental para realizar las encuestas muestrales referentes a las unidades e. investigadas en el censo. Pero, al tratarse de e. tan extensas y detalladas, son de un elevado coste, lo que obliga a espaciarlas -n el tiempo en periodos decenales o, a lo más, quinquenales. La actualización de los datos para los años comprendidos entre dos censos sucesivos puede conseguirse mediante encuestas muestrales, pero gracias al empleo de los ordenadores electrónicos es cada día más corriente la sustitución de los censos por los registros abiertos, en los que figura una ficha para cada

unidad ’ e. cuyos datos iniciales, o del "nacimiento"de aquella unidad, se completan día a día con las nuevas informaciones que se vayan produciendo e, incluso, con la desaparición o "muerte" de dicha unidad e.

En España se han publicado censos de población referidos a los años 1787, 1797, 1857, 1860 y al 31 de diciembre de los años 1877, 1887, 1897 y para todos los años terminados en "cero" del actual siglo; coincidiendo con el censo de población de 1950 se inició la serie de Censos de edificios y viviendas, y el primer Censo agrario de España viene referido a 1962.

Aunque existe una metodología propia para cada e. económica de carácter anual, todas ellas deben diseñarse y Planificarse para que puedan integrarse dentro de un sistema de cuentas nacionales, que a su vez puede venir originado por la elaboración de la Tabla input-output o de relaciones interindustriales del año correspondiente. El sistema económico se divide en sectores que, desde el punto de vista estadístico, están constituidos por unidades económicas de consumo (familias, instituciones privadas sin fines de lucro y Administraciones públicas); unidades económicas de producción (empresas o establecimientos agrícolas, industriales y de servicio) y mercancías (consumidas, prodtfcidas, exportadas, importadas o destinadas a la- formación de capital).

En las e. económicas que tienen como unidad la familia, destacan, además de las que se derivan de los censos de población, las encuestas de presupuestos familiares, las cuales permiten elaborar las e. de consumo, así como las encuestas de empleo y población activa, con objeto, principalmente, de conocer las distintas situaciones de paro, la composición de la población por ramas de actividad y los transvases de activos entre las distintas zonas geográficas. Existen otras derivadas de los individuos aislados, como, p. ej., las de enseñanza, sanidad o turismo, de indudable interés dentro de las e. económicas.

Las e. originadas en los datos facilitados por empresas y estable nmientos permiten elaborar las e. de producción, comercio, transporte, inversiones, precios, salarios, beneficios, aunque cada una de ellas exige la realización de encuestas muy diferentes. Para facilitar la comparación con las e. de otros países, cada empresa y establecimiento debe estar encuadrado dentro de un grupo de la Clasificación Int. de Actividades Económicas y los bienes producidos por las unidades e. deben también corresponderse con otra clasificación internacional de mercancías.

Otros sectores económicos, como el de las instituciones privadas sin fines de lucro (asociaciones profesionales, benéficas, religiosas o deportivas, p. ej.), pueden complementar, por una parte, las e. de consumo y, por otra, las de producción, salarios o inversiones. Las e. del sector público o de las administraciones estatales y locales se deducen de los presupuestos y de los datos finales sobre gastos y recaudación, y las del sector exterior permiten elaborar las balanzas comerciales y de pagos.

4. Números índices mensuales de magnitudes económicas. Los números índices estadísticos han constituido tradicionalmente una de las maneras de agrupar un conjunto de datos económicos en un solo número representativo de aquel conjunto, iniciándose en 1864 una metodología ideada por Laspeyres, que aún no ha sido decisivamente superada. El punto de partida es el concepto de número índice simple, que es sencillamente el cociente o porcentaje entre el valor x; que toma una magnitud X; en un momento o periodo actual y el valor x;o que tomó en otro momento o periodo base. La expresión matemática de dicho número índice simple puede venir dada por una de las dos expresiones siguientes:

Ii=xi/xi0 o Ii=xi/xi0 100

Si en lugar de la magnitud X; se consideran n modalidades de dicha magnitud:

Xi, X2, .... Xn,

a cada una de ellas debe corresponder un índice simple It, 12, ..., In

que exprese la variación del valor de la magnitud en el periodo actual respecto al periodo base, y se puede obtener un índice conjunto mediante un promedio cualquiera de estos números índices simples; p. ej., a través de la correspondiente media aritmética, que origina la expresión:

I = (Il+I2+... +In )/n

P. ej., siL=precio de las frutas enMadrid,y se consideran cinco modalidades de esta magnitud que designaremos por

Il=precio de las peras (5 y 4)

I2=precio de los plátanos (10 y 5)

I3=precio de las uvas (3 y 3)

I4=precio de las manzanas (1 y 2)

IS = precio de los higos (1 y 0,5),

cuyos números entre paréntesis representan el precio de la correspondiente fruta en el mes de septiembre de 1970 y en el de agosto de 1969 (periodo base), los correspondientes números índices simples serán respectivamente:

Il =5/4=1.25, I2=10/5=2.00, I3=3/3=1.00, I4=1/2=0.50, IS =1/0.5=2.00

y el índice compuesto valdrá

I = (1.25+2+1+0.5+2)/5 = 1.15

ó 115 si los números índices simples se hubiesen expresado como porcentajes. Este número índice significa que "en promedio, el precio de los frutos en Madrid creció un 15% en el mes de septiembre de 1970 respecto al que existió durante el mes de agosto de 1969".

Sin embargo, a esta afirmación se puede objetar que no tiene la misma importancia el hecho de que los plátanos hayan duplicado su valor en el periodo de referencia que el de que los higos hayan tenido la misma variación porcentual: el valor de los plátanos consumidos es muy superior al que alcanzó el consumo de higos.

Para recoger en el cálculo del número índice la "importancia" de cada una de las modalidades de la magnitud, se emplean números índices ponderados, de manera que si los pesos o ponderaciones de cada modalidad de la magnitud son designados por w1, w2, ..., wn, el índice compuesto anterior tomará ahora la forma de la siguiente media aritmética ponderada:

7Ilwl+I2w2+...+Inwn =

w, +W2+... +wn

La elección de ponderaciones plantea problemas específicos para cada tipo de magnitud; así, cuando se ha de calcular un número índice de precios, puede ponderarse con el valor pu, qio (precio por cantidad) que alcanzó cada mercancía en el periodo base, y como en este caso puede sustituirse xi por pi ó xio por pio, el índice simple viene dado por

It= Pi - Pio

y el índice compuesto ponderado toma el valor P1 P2Pn

- P10g1o +- P20g2o+ . - +p,Agno

P10 P20Pno

1=, P lOq 10= + P20g2o + - + Pnogno

que al simplificar cada término del numerador, se reduce a la expresión

Plglo+P2g2o+.+ PugnoYPig¡o

I= --=L, P10g10+P20g20+ +P.0q.o YPiogio

conocida en la literatura estadístico-económica con el nombre de fórmula de Laspeyres y simbolizada a veces por la letra L.

Si se pondera por el valor ficticio piogi (precio del periodo base por cantidad del periodo de comparación),

se llega, mediante un proceso análogo del cálculo, á la fórmula de Paasche, designada por

ipigi P= , ipiogi

que es un buen deflactor, al permitir expresar valores de periodos distintos en "pesetas" constantes de un mismo año, ya que

Y_Pigi

=YPiogi

P

El empleo del índice de Paasche tiene el inconveniente estadístico de exigir nuevas ponderaciones para cada periodo, y ello impide prácticamente su utilización cuando hay que recoger los datos que fijan las ponderaciones mediante encuestas mensuales. La media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche da lugar al denominado índice ideal de Fisher, que tiene por expresión - y Ypigioipigi

F=%ILP=

1iPiogi0 YPioge

Dentro de los índices de precios, se pueden elaborar distintas modalidades, según que los datos se recojan al final del proceso productivo (índices de productor y de salida de fábrica) o en algún momento de la distribución o comercialización (índices al por mayor y al por menor o al detalle).

Pero existe una modalidad de los índices al por menor que son utilizados en aplicaciones muy variadas, denominados números índices del coste de la vida, ya que permiten conocer la evolución de los precios correspondientes a los bienes y servicios adquiridos por una familia media perteneciente a un estrato socioeconómico bien delimitado por los extremos inferior y superior de los ingresos de las familias pertenecientes al estrato y por ciertas características demográficas de dichas familias.

Para seleccionar las mercancías que forman este índice y determinar las ponderaciones, ha de realizarse una encuesta de presupuestos familiares o de los gastos anuales de aquellas familias. La selección de artículos puede conseguirse eligiendo, p. ej., los que representan más del uno por mil del gasto total de la familia, y la ponderación nos la da dicho porcentaje del gasto total.

Los números índices de la producción industrial determinan la evolución en el tiempo del volumen físico producido en este sector económico, y los índices simples se agregan por ramas de actividad y grandes divisiones del sector industrial (minas y canteras, manufacturas, construcción y energía, p. ej.). No se deben emplear valores brutos para obtener las ponderaciones, sino valores netos o añadidos (rentas de trabajo, beneficios e impuestos directos), para no repetir el valor de una misma mercancía en los procesos sucesivos en que figure directa o indirectamente como materia prima (mineral de hierro, arrabio, lingote de acero y laminado, p. ej.).

Las metodologías para elaborar números índices de comercio exterior (precios y cantidades físicas exportadas e importadas), de salarios, empleo, productividad, turismo o cualquiera otra magnitud económica ofrecen peculiaridades muy distintas según el hecho específico que se intente medir y la información e. de que se disponga.

5. Análisis de las series históricas. Si los valores de una variable e. se corresponden con periodos sucesivos de tiempo, dados por días, meses, años o siglos, p. ej., se tiene una serie cronológica, histórica o de tiempo. El análisis de dichas series se ha venido haciendo, por estadísticos y economistas, considerando que en el comportamiento de una serie histórica influyen cuatro causas o fuerzas que al componerlas originan los valores de la variable; tales causas son: el trend o tendencia secular, el movimiento estacional, las variaciones cíclicas y el componente residual.

La tendencia secular se determina en la práctica ajustando a los valores de la serie histórica una función del tiempo y=f(t), dada por un polinomio de cualquier grado (recta, parábola, etc.), una curva logística u otro tipo de función o, incluso, suavizando la serie por el conocido método de las medias móviles. P. ej., la tendencia secular de la población española puede establecerse a partir de la curva logística representada en la fig. 2, que permite estimar aquella evolución poblacional según los datos conocidos desde 1855, en el supuesto de que no se presentaran otras causas importantes que modifiquen dicha tendencia (el descubrimiento de los antibióticos modificó sustancialmente el trend de la población estimado con datos anteriores a 1950).

El movimiento estacional se refiere, en un sentido estricto, a las variaciones de la serie histórica, que son debidas, exclusivamente, a la influencia de las estaciones del año; p. ej., en verano disminuye la cantidad de lluvia y en invierno aumenta el precio de la fruta. Este concepto puede generalizarse a la influencia de los días de la semana o de las horas del día en el comportamiento de una serie cronológica referida a tales periodos de tiempo.

Este movimiento se cuantifica mediante los números índices de variación estacional, que permiten la desestacionalización de las series mensuales de índices de producción o de precios, p. ej., pero no existe un método óptimo para el cálculo de dichos números índices. Los más conocidos son el método de la media aritmética, el de las razones a la media móvil, y el de las cadenas de relaciones; pero actualmente se elaboran programas para resolver el problema empleando, calculadoras electrónicas.

La diferencia entre cada valor observado de una serie histórica desestacionalizada y el correspondiente valor teórico dado por la tendencia secular, expresada en porcentaje de dicho valor teórico, permite cuantificar las variaciones cíclicas de la serie, cuyos valores pueden depurarse de la componente residual, o perturbaciones debidas al azar, haciendo uso del análisis armónico y, especialmente, de las series de Fourier, que es el modelo matemático más empleado para esquematizar el comportamiento de las variaciones cíclicas.

Con el trabajo de Wiener sobre Análisis armónico generalizado (1930) y el de Khintchine sobre Procesos estocásticos estacionarios (1934) se establece el punto de partida para estudiar las series históricas fundamentadas en una teoría formal, la cual ha dado origen al moderno análisis espectral, empleado, p. ej., por Nerlove ("Econométrica", julio 1964) para medir los efectos de un método de desestacionalización en una serie histórica.

6. Estimación de elasticidades de demanda. Se ha empleado (y quizá abusado) mucho del análisis clásico de regresión lineal y no lineal para estimar ciertas funciones económicas; ya a finales del s. xvit, Gregory King intentó explicar, mediante un artificio matemático, las alzas del precio del trigo como consecuencia de la disminución del volumen de las cosechas y, más tarde, Schultz ajustó por el método de los mínimos cuadrados funciones del tipo siguiente:

x=a+bp+ctylog x=tog a+b log p+ct,

para analizar la cantidad x demandada de un artículo de consumo, procedente del sector agrícola, al variar el precio p de dicha mercancía.

En la segunda ecuación de Schultz, el coeficiente b ofrece directamente la elasticidad demanda-precio y el coeficiente c determina una tasa temporal del crecimiento de la demanda. Si la simplicidad de este modelo matemático ha sido superada por métodos econométricos posteriores, la metodología se ha mantenido para estimar curvas de Engel y, más precisamente elasticidades demanda-renta, a partir de la ecuación de regresión doblemente logarítmica

log X=1og a+b log Y,

en donde X es el gasto en la mercancía de referencia realizado por una familia media e Y es el ingreso o renta de la misma familia; b es una estimación de la elasticidad demanda-renta, ya que corresponde a la derivada de log X respecto a log Yt.

El modelo anterior puede ser lineal respecto a las variables X e Y, y suele a veces incluir una variable más que recoja el tamaño o número de personas que componen cada familia. La información e. suele proceder de una encuesta de presupuestos (o gastos) familiares y, para evitar la multicolinealidad, debido a la indudable correlación que debe presentarse entre los ingresos y el tamaño de la familia, pueden referirse los datos de X y de Y a familias con la misma composición o referirlos a unidades de consumo, en donde a cada miembro (varones adultos, mujeres y niños) se le asigna un coeficiente de ponderación apropiado. También puede resolverse el problema empleando otras metodologías, como el análisis de la confluencia debido a Ragnar Frisch.

La solución moderna a los problemas que plantea el enfoque estadístico del análisis de la demanda debe encontrarse en la utilización de modelos estocásticos multiecuacionales y existen enfoques estadístico-económicos en donde se utilizan también ciertas cuestiones de la teoría de procesos estocásticos (como el manual de Herman Wold sobre Análisis de la demanda, publicado en castellano por el Inst. de Investigaciones Estadísticas, Madrid 1956), que constituyen aportaciones clásicas de indudable interés científico.

7. Funciones de oferta y de producción. La e. económica ha dedicado menos atención al estudio de las funciones de oferta que al empleado en el conocimiento de las funciones de demanda, aunque también Schultz inició estos trabajos con una estimación referida al mercado mundial de azúcar. Tintner estimó en 1946 ("Econométrica", 14) funciones de oferta para los productos agrícolas de los Estados Unidos, mediante una regresión lineal múltiple entre la producción agrícola y los precios percibidos por los agricultores, los pagados por ellos mismos y el tiempo, pero, como ocurre con las funciones de demanda, el análisis de la oferta debe realizarse, solamente, dentro de un modelo econométrico multiecuacional.

Las funciones de producción se estiman con cierta frecuencia en forma aislada y, especialmente, la conocida como función Cobb-Douglas dada por una expresión del tipo siguiente:

X =kW-CeeTt

en donde X, W y C representan el volumen de producción, la cantidad de trabajo y el stock de bienes de capital; w y c corresponden a las elasticidades de la producción respecto al trabajo y respecto al capital, t es el tiempo y T puede considerarse como una tasa de crecimiento temporal del factor residual.

El factor residual recoge la influencia que en la evolución del producto nacional ejercen otros factores distintos del trabajo y el capital, como las innovaciones tecnológicas, la educación y formación profesional de la población activa, la organización empresarial y las economías externas, por señalar las componentes más significativas de dicho factor residual. La función Cobb-Douglas se ha empleado para estimar funciones de producción tanto en el campo microeconómico como en el macroeconómico, y la metodología es también la mínimo-cuadrática, después de tomar logaritmos neperianos en los dos miembros de la función.

Se han utilizado numerosas ecuaciones algebraicas para estimar funciones de producción e incluso existen libros especializados en el tema para un solo sector económico, como el debido a Heady y Dillón con el título Agricultura! Production Functions, publicado por la Univ. de Iowa en 1961 y reeditado cuatro veces hasta 1969. En este manual pueden estudiarse otras funciones de producción, como la debida a Spillman, o funciones parabólicas, hiperbólicas o logísticas. También puede considerarse como una función de producción de características muy peculiares la que se deduce de la matriz de los coeficientes técnicos "de una Tabla input-output.

8. Mediciones estadísticas de la distribución de la renta personal. El índice de Gini es una de las medidas más conocidas para estimar la desigualdad de las rentas personales; viene dado por el cociente entre la media aritmética de todas las diferencias entre las rentas de cada dos personas del conjunto y la media aritmética ordinaria de aquellas rentas. Si, p. ej., en el conjunto hay solamente cuatro personas con rentas iguales a 1, 4, 8 y 10, el numerador del índice de Gini será la media de las diferencias

(4-1), (8-1), (10-1), (8-4), (10-4) y (10-8),

es decir, 31/6, mientras el denominador valdrá 23/4, el cociente de estos dos números vale 0,9 aprox.

Si las rentas hubieran sido todas iguales existiría una distribución equitativa o una concentración mínima de rentas y, como en este caso todas las diferencias serían nulas, el índice de Gini sería igual a cero. Por el contrario, si todas las rentas son nulas menos la de una sola persona, la concentración sería máxima y, en este caso, el índice de Gini tomaría el valor "uno".

La curva de Lorenz origina la representación gráfica más conocida para ilustrar la distribución de la renta de un conjunto de personas y, a su vez, puede dedúcirse de la misma un nuevo índice de concentración. Para construirla, se toman sobre el lado OA de un cuadrado (fig. 3) tantas divisiones

(1, 2,, n)

como números n de personas pertenezcan al conjunto y, sobre el lado OB, perpendicular a OA, las ordenadas

ui=XI, uz=xi+xz, ..., u?=xl+x,+O...+x?=OB, en donde

XI, XZ, x3, etc.,

son los ingresos o rentas de la la, 2a, 3a persona, etc. Los puntos de coordenadas

(1, u,), (2, uz), (3, u3), . -, (n, u?) determinan la curva de Lorenz.

En el caso de una distribución perfecta (o equidistribución) de la renta, debe verificarse que x,=xZ=...=x?

y, por tanto,

u;=tXI

(cualesquiera que sea i=1, 2, ..., n) por lo que en este caso límite la curva no será tal curva, sino el segmento rectilíneo OC, diagonal del cuadrado considerado. Si todas las rentas estuviesen concentradas en una sola persona (la última o "enésima" p. ej.) la representación vendría dada por la línea quebrada formada por los segmentos OA y AC. Por tanto, cuanto más próxima se encuentre la curva de Lorenz a la diagonal OC tanto más equitativa es la distribución personal de la renta del conjunto considerado y, precisamente, la relación entre el área rayada de la fig. 3 y la del triángulo OAC determina el índice de concentración deducido de la curva de Lorenz, a que se ha hecho referencia, que toma el valor "cero", si existe equidistribución, y el valor "uno" en el caso de máxima concentración de la renta.

Pero el método estadístico que más se ha divulgado para medir la concentración personal de la renta es el que se basa en la denominada distribución de Pareto, que expresa la proporción P(x) de personas con rentas superiores a x mediante la función

P(x)=Ax-Q.

Si m es la renta mínima del conjunto (o ingresos de la persona que recibe menos renta), puede deducirse que P(m)=1 y, por tanto,

A = ma,

lo que permite expresar la función de Pareto en la forma

m

P(X)= x

El parámetro a de Pareto es uno de los más discutidos de la E. económica y se utiliza frecuentemente para analizar la evolución personal de la renta dentro de un país o para comparar la mayor o menor concentración de los ingresos entre dos países diferentes. Puede estimarse mediante la expresión

M

a= -, M-m

en donde M es la renta media de las personas del conjunto y m la renta mínima a que antes se hizo referencia. El mayor inconveniente para contrastar en un país la bondad de la adecuación con la realidad de esta distribución de Pareto radica en la dificultad de realizar encuestas fiables sobre los verdaderos ingresos de las personas que, en general, son infravaloradas en las declaraciones facilitadas a los entrevistadores por distintas motivaciones psicológicas.

Á. ALCAIDE INCHAUSTI.

BIBL.: A. SALAZ SERRANO, Resumen histórico de la Estadística en España, Madrid 1956; G. S. FISHMAN, Spectral Methods in Econometrics, Cambridge (Mass.) 1969; G. TINTNER, Econometrics, Nueva York 1954; A. PIATIER, Estadística y observación económica, Barcelona 1967; G. DUON, De la théorie á la Pratique des índices statistiques, París 1955; .4. ALCAIDE, Lecciones de Econométría y Métodos estadísticos, Madrid 1966.