Estadistica. Estadistica Matemática.

Categoria:

Matemáticas

1. Objeto de la Estadística. Desde que en 1749 emplea Achenwall la palabra estadística, en el sentido de "exposición de las principales características de un Estado" hasta que H. Cramér afirma en 1945 que "el objetivo fundamental de la teoría e. consiste en investigar la posibilidad de extraer de los datos estadísticos inferencias válidas, elaborando los métodos mediante los cuales puedan obtenerse dichas inferencias" (Métodos Matemáticos de Estadística, Madrid 1953, 160), se han formulado muy variadas definiciones de E., identificadas, muchas veces, con las que describen la denominada hoy E. descriptiva o con el propio Cálculo de probabilidades.

En primer lugar es muy conveniente efectuar la distinción entre el término "estadísticas", o colecciones de datos sometidos o no a ciertas elaboraciones y presentados en una forma ordenada, y la expresión E. matemática como un método científico, cuyo objeto es el expresado por Cramér y que se fundamenta en el Cálculo de probabilidades.

Por otra parte, la E. descriptiva tiene por objeto agrupar los datos observados en tablas numéricas que reciben el nombre de distribuciones de frecuencias, en las que a cada valor de la variable o conjunto de valores (intervalos de clase) se le hace corresponder un número, denominado frecuencia, correspondiente al número de repeticiones de aquel valor o valores. También estudia esta modalidad elemental de la E. las características notables de una distribución de frecuencias, conocidas con el nombre de medidas de posición o promedios (media aritmética, mediana y moda, p. ej.), medidas de dispersión (varianza, desviación típica, desviación media), medidas de asimetría y medidas de apuntamiento o kurtosis.

Si las tablas recogen la distribución conjunta de dos variables e., se trata de una tabla de correlación o tabla de doble entrada en cuyo encabezamiento figuran los valores o intervalos de clase en el que se ha dividido el recorrido de una variable, y en la columna matriz, los valores o intervalos de la otra variable; finalmente, en cada casilla de la tabla figura la frecuencia conjunta de los valores correspondientes a la fila y la columna que determinan la casilla. Las características de estas distribuciones conjuntas de frecuencias son también promedios y medidas de dispersión, además de otras más específicas que miden la interdependencia entre aquellas dos variables (coeficientes de correlación y funciones de regresión, principalmente). También es posible realizar una generalización de las tablas de correlación al caso de distribuciones conjuntas de más de dos variables.

2. Inferencia estadística. Constituye, como se ha dicho, el objeto principal de la E. m. y consiste en conocer o inferir para una población, o conjunto total, las características obtenidas a partir de una muestra o subconjunto de aquella población. P. ej., si se quiere conocer el número de españoles mayores de 20 años (población) que fuman, y no es posible, por razones de coste y de tiempo, preguntar a todos y cada uno de los elementos de la población que se quiere investigar, la pregunta se efectúa a una parte (muestra) del conjunto total (a 1.000 ó a 50.000 españoles mayores de 20 años, p. ej.), y la E. matemática es la ciencia básica que permite generalizar los resultados de la muestra a la población, _precisando la fiabilidad de dicha inferencia en términos de probabilidad.

Como una modalidad de este problema general de la inferencia e., la E. matemática estudia métodos para la contrastación con la realidad de hipótesis e. En el ejemplo anterior podría plantearse el problema en los siguientes términos; contrastar la hipótesis de que "fuman más del 60% de los españoles mayores de 20 años", la muestra anteriormente considerada podría facilitar la información e. necesaria para tomar una decisión encaminada a la aceptación o el rechazo de la hipótesis que ha sido formulada.

Los métodos matemáticos de la E. se elaboran considerando poblaciones infinitas, cuyos resultados se originan al realizar un experimento aleatorio un número tan grande de veces como se desee; también puede tenerse una imagen más sencilla de tales poblaciones infinitas si se supone que los elementos de la muestra son los números que se anotan al extraer de una urna bolas numeradas, desde 1 hasta n, con la condición de reponer la bola en la urna después de cada extracción.

Pero como en las aplicaciones de la E. han de investigarse poblaciones finitas (no sería razonable repetir la misma pregunta varias veces a una misma persona o empresa, p. ej.), se ha elaborado una nueva metodología que se conoce en la literatura estadística con la denominación de Técnicas de muestreo de las poblaciones finitas, basada, desde luego, en los métodos desarrollados por la E. matemática.

3. El problema de la decisión. Otra modalidad de la inferencia e. es la que se origina ante la necesidad de tomar una decisión entre diversas acciones posibles. El problema se plantea en términos estadísticos cuando la acción más conveniente depende de los valores que tome un parámetro desconocido a, que está incluido en la función de distribución (v. CÁLCULO vi) de la población que ha de ser investigada. La estimación de este parámetro constituye el problema central de la inferencia e., pero han de evaluarse las posibles acciones introduciendo una función de pérdida tal que mida la pérdida que se origina al tomar una determinada acción a y que viene dada en función de un conjunto de observaciones muestrales.

Si la decisión que se toma es la de aceptar como parámetro a, el que se origina a partir de una determinada función de los valores muestrales

x1, x2, .. , XII, o sea, si se opera con

á=1(x1, x2, ..., x,=),

se tiene un estimador de a y una función de pérdida

P(á, a)=0

cuando

á = a.

El valor numérico de

Axi, x2, ..., xn)

cuando se sustituyen las variables por los valores muestrales observados es una estimación puntual del parámetro a.

La teoría de la estimación puntual constituye uno de los capítulos fundamentales de la E. matemática, y su objeto se centra en hallar estimaciones, como un sustitutivo estadístico de las acciones, deducidas de un estimador o función de decisión que permita esperar riesgos (o valores "esperados" de la función de pérdida) lo menos desfavorables posibles. Como dentro del conjunto de todos los posibles estimadores del parámetro a no’ existe, en general, uno que sea el más favorable, la elección de a se efectúa comprobando si el estimador goza de buenas propiedades: insesgadez, consistencia, eficiencia y suficiencia.

Se dice que un estimador es insesgado cuando la esperanza matemática del estimador es igual al parámetro poblacional, es decir. si

E[ál=a.

Entre los estimadores más deseados por el estadístico pueden destacarse los insesgados de varianza mínima, o sea, estimadores que siendo insesgados presentan una varianza D2(a) menor que la obtenida para otro estimador a* cualquiera de a, de forma que

D2[ál < D2[a*].

La propiedad de consistencia puede relacionarse con la convicción práctica de que, al aumentar el tamaño de la muestra y acercarse al de la población, debe hacerse menor el riesgo (o debe crecer la bondad del estimador). La suficiencia se deriva, esencialmente, de que el estimador a contenga incluida en la muestra que lo define toda la información existente sobre el parámetro a. Por último, la eficiencia viene definida por Cramér (o. c. 551) como la relación entre el valor mínimo posible de la varianza del estimador y el valor efectivo de dicha varianza.

4. Métodos de estimación. Para encontrar estimadores, que después habrá de comprobarse si gozan o no de buenas propiedades, se emplean diversos métodos estadísticos: mínimos cuadrados, momentos, el de Bayes y máxima verosimilitud, principalmente.

El método de los mínimos cuadrados es el más empleado en la estimación de los parámetros que figuran en un modelo lineal uniecuacional (v. ECONOMETRÍA), y la aceptación de sus buenas propiedades exige la aceptación de un conjunto de axiomas que fundamentan la Teoría formal de la regresión lineal múltiple. El problema matemático que origina este método consiste, sencillamente, en estimar los parámetros de la ecuación de regresión con la condición de que sea mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores teóricos de la variable dependiente.

Los momentos (v. CALCULO vi) de una distribución probabilística vienen dados por las esperanzas matemáticas de la correspondiente variable aleatoria, que tienen su imagen empírica en los correspondientes promedios de una variable e. y de sus respectivas potencias; estos últimos se utilizan en la E. descriptiva para definir las características de una distribución de frecuencias. Pues bien, la igualación de los momentos teóricos o de la población (en función de los parámetros que se quieren estimar) y de los correspondientes momentos muestrales o deducidos de las observaciones, origina un sistema de ecuaciones cuya solución permite obtener estimaciones por el método de los momentos.

El estimador de Bayes es el que minimiza la esperanza del riesgo, siendo el riesgo, a su vez, una función de los valores muestrales y del parámetro poblacional, representante del riesgo a posteriori para la estimación del parámetro a. La resolución del problema de la estimación bayesiana exige un conocimiento de la función de densidad marginal del parámetro a estimar y la fijación de una función de pérdida.

La estimación de parámetros por el . método de la máxima verosimilitud se fundamenta en el principio evidente de que la densidad de probabilidad, como una función del estimador, ha de ser máxima para el estimador de máxima verosimilitud y, por tanto, será el valor de a que maximice la función

L(a) =f(xt, a) f(x2 - a) ... f(xn, a),

en donde

XI, x2, . ., xn

son los valores muestrales. En la práctica se hace máximo el logaritmo de L(a), denominado corrientemente logaritmo de la verosimilitud.

5. Contrastación de hipótesis. Una alternativa de la estimación puntual es la estimación por intervalos y regiones de confianza; así, en lugar de estimar en 1,68 la talla media de los españoles varones de 21 años, la inferencia deducida de los valores muestrales es conveniente representarla mediante una expresión del tipo siguiente: "la talla media de los españoles está comprendida entre los valores

1,68-0,02=1,66 y 1,68+0,02=1,70 con un coeficiente de confianza del 95%.

El significado estadístico de tal afirmación es el de asegurar que si se hubiesen extraído al azar 100 muestras de la misma población, y todas ellas del mismo tamaño, de los 100 intervalos estimados como el (1,66, 1,70), 95 de ellos cubrirían la verdadera talla media de los españoles varones de 21 años, media que nunca conoceremos exactamente sin tallar a todos los elementos de la población considerada. Una generalización al caso de la estimación conjunta de dos parámetros poblacionales origina las regresiones de confianza.

La estimación por intervalos se utiliza en la inferencia e. para resolver el problema de la contrastación de hipótesis. (La voz inglesa test se traduce al castellano por "contraste" en la literatura e. No obstante, se emplean por algunos autores las palabras "docimasia" -Cansado y Azorín-, "prueba", "ensayo", y algún otro término castellano). De una manera muy simple puede decirse que si tenemos dos hipótesis diferentes respecto al verdadero valor de un parámetro existe la necesidad de contrastarlas para averiguar cuál de ellas presenta la máxima probabilidad de que sea cierta.

Al contrastar una hipótesis, Ho, frente a otra hipótesis alternativa H,, pueden cometerse dos tipos de error: el error tipo 1=a, que consiste en tomar la decisión de que es cierta Hl siendo Ho la hipótesis verdadera; el error tipo II=(3 se comete al aceptar como verdadera la hipótesis Ho cuando la que es cierta es H,. En otras palabras, la distinción entre ambos tipos de error puede resumirse diciendo que pueden cometerse o por la aceptación de una hipótesis falsa o por el rechazamiento de una hipótesis verdadera.

Aunque no es posible eliminar los errores, sí es posible controlar las probabilidades de que ocurran, tomando muestras de tamaños apropiados y fijando regiones críticas adecuadas (fig. 1). P. ej., si Ho corresponde a la hipótesis de que la talla media

X=1,66

y Hl implica que

X > 1,66,

se contrasta la hipótesis Ho extrayendo una muestra al azar de tamaño n=100 que origina una media muestral

x =1,68

y una desviación típica muestral

S=0,1;

al estimar este valor de s como desviación típica de la población (ya que n=100), la desviación típica de la media será

(x = s/(n)1/2 = 0.1/10 = 0.01

y aceptando un comportamiento normal para la distribución de la media, se tiene el valor tipificado

x-X/(x = (1,68-1,66)/0.01=2

Si se hace el error tipo 1,

a=0,05,

ello equivale a construir un intervalo de confianza cuyo extremo superior zo (fig. 1) deja a la derecha un área que es el 5% del área total yacente bajo la curva de la izquierda; en las tablas de la distribución normal se encuentra que esto ocurre para

zo=1,645,

y la región crítica es el conjunto de valores de z mayores que zo, por lo que z=2 cae en dicha región crítica y la decisión debe ser la de rechazar la hipótesis Ho, tal que

X=1,66.

Finalmente, es posible elegir a tan pequeño como se quiera y hacer mínima la probabilidad de cometer un error tipo 1, pero en dicho caso aumentará la probabilidad de cometer un error tipo 11, lo que obliga a estudiar la cuantía de dicho error empleando, p. ej., la curva de características operantes (fig. 2).

Otros problemas que tienen relevancia dentro de los métodos de la E. matemática, como el análisis de la varianza, el diseño de experimentos o los métodos no paramétricos, se encuentran muy divulgados en los principales manuales. La teoría de la regresión y los modelos lineales han sido estudiados por los económetras con gran rigor científico, y la aplicación del conocimiento estadístico a otros campos científicos constituye la aportación más valiosa para el desarrollo de la Biometría, Sociometría y Psicometría.

6. Muestreo de poblaciones finitas. Pero quizá la aplicación más directa y fecunda de la E. matemática reside en las técnicas de muestreo de las poblaciones finitas, empleadas tanto por los organismos estatales para realizar encuestas muestrales de muy diversa naturaleza, como por las empresas privadas que se ocupan de la investigación de mercados, de auscultar la opinión pública o para tomar ciertas decisiones empresariales.

Aunque el muestreo tiene claras ventajas en cuanto a coste, tiempo, calidad del trabajo y reducción de las molestias ocasionadas por las entrevistas, es indudable que origina errores al estimarse el "todo" por una parte; pero las técnicas de muestreo miden estos errores y fijan la confianza que ha de concederse a la estimación. Para ello es indispensable que, cualquiera que sea el tipo de muestreo elegido, la selección de las unidades últimas debe realizarse al azar, es decir, deben utilizarse muestreos probabilísticos. Las muestras opináticas, en cuya selección intervienen criterios subjetivos o personales originan sesgos que no es posible medir o controlar.

Los problemas se plantean, principalmente, en función del error que se está dispuesto a tolerar, del tamaño de la muestra y del nivel de confianza. Ordinariamente, fijados el error y el coeficiente de confianza, se determina el tamaño mínimo de la muestra que ofrece aquellas características y para ello es necesario elegir el tipo de muestreo que facilite aquella minimización que, en definitiva, significa también un coste mínimo de las entrevistas a realizar.

Entre los distintos tipos de muestreo que se utilizan en el diseño de las encuestas muestrales deben destacarse el aleatorio simple, estratificado, por áreas y conglomerados, polietápico, sistemático y los basados en estimadores de la razón y la regresión. Un muestreo no probabilístico empleado en algunas ocasiones es el muestreo por cuotas (que no es técnicamente recomendable), y durante la 11 Guerra mundial fue catalogado como "secreto" el muestreo secuencial o sucesional, ideado por Wald, de gran interés para ahorrar inspección y que permite abreviar las tomas de decisión.

V. t.: CÁLCULO VI;PROBABILIDAD.

A. ALCAIDE INCHAUSTI.

BIBL.: A. PULIDO SAN RO.MÁN, Estadística y técnica de inr?estigación social, Madrid 1967 (buen manual elemental de E. descriptiva); E. CANSADO, Curso de Estadística general, Rosario (Argentina) 1958; S. Ríos, Métodos estadísticos, Madrid 1967; A. M. MOOD y F. A. GRAYBILL, Introducción a la teoría de la Estadística, Madrid 1969; H. CRAMÉR, Métodos matemáticos de Estadística, Madrid 1953; G. ARNAIZ VELLANDO, Introducción a la Estadística teórica, Valladolid 1965; F. AZORíN PocH, Curso de muestreo y aplicaciones, Madrid 1969; A. ALCAIDE, Econometría y métodos estadísticos, Madrid 1966; M. G. KENDALL y A. STUART, The Advanced Theory ol Statistics, I: Distribution Theory, II: Interence and Relationship, III: Design and Analysis, and Time Series, 2 ed. Londres 1963, 1967, 1968 (se ocupa de todos los temas importantes de la E. matemática).