Equilibrio FÍS.

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Física

Equilibrio estático. Constituye el objeto de la Estática (v.) y corresponde a aquella situación de los sistemas mecánicos que son observados como inmóviles por un observador. Es, pues, una situación subjetiva de los mismos, ya que evidentemente lo que está en reposo respecto a un observador estará en movimiento respecto a otro que esté en movimiento respecto al primero. De hecho las ecuaciones cardinales de la Estática, junto con los postulados relativos a- la constitución de los sistemas sobre los que se está operando, es decir, las leyes que definen la naturaleza del sistema (p. ej., sólido rígido, sólido deformable, líquido incomprensible, etc.), más la condición inicial de velocidad nula de todos los puntos del sistema respecto a un observador, permiten resolver el problema estático relativo a este observador y a todos aquellos que estén inmóviles respecto a él.

A la misma solución del problema estático se puede llegar mediante la aplicación del principio de los trabajos virtuales, que permite determinar las condiciones de e. de un sistema resolviendo de forma directa los prolalemas relativos al e. de los sistemas sujetos a ligaduras, tanto si éstas representan vínculos bilaterales (en los cuales un desplazamiento posible o virtual siempre implica la posibilidad del mismo desplazamiento infinitesimal en sentido contrario), como en el caso de vínculos unilaterales, en los cuales la condición anterior no siempre es satisfecha. El principio de los trabajos virtuales, uno de los fundarimentaaes de la Filosofía natural, y, según Lagrange (v.), el punto de partida de toda la Mecánica, afirma en la formulación actual dada por Giovanni Bernouilli (v.) en 1717 que "condición necesaria y suficiente para el e. de un sistema sujeto a ligaduras lisas es que el trabajo de las fuerzas activas sobre el mismo para cualquier desplazamiento virtual, es decir, infinitesimal y posible, no sea nunca negativo", definiéndose la ligadura lisa como aquella cuya reacción no tiene componente tangencial al vínculo.

La condición anterior escrita en la forma BW>0, en la cual el símbolo B recuerda que la expresión no es forzosamente una diferencial exacta, se convierte en BW=0para vínculos bilaterales. La aplicación del principio anterior a un punto libre para el cual es posible cualquier desplazamiento SP, como consecuencia de ser libre, y sobre el que actúe un conjunto de fuerzas cuya resultante sea R, deberá verificar R.BP=0, y dada la arbitrariedad de BP es evidente que R=0, que junto con la condición de velocidad inicial nula asegura el e. estático de este punto. De la misma forma se deduce que la condición de e. de un sólido rígido libre es la anulación de la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre él, junto con la nulidad del momento de todas estas fuerzas respecto a un punto cualquiera inmóvil respecto al observador, y por su aplicación se obtienen de forma inmediata todas las condiciones concretas para los distintos sistemas elementales vinculados. En el caso general, sólo restringido a que las condiciones de ligadura entre las variables del sistema sean de tipo finito y que en estas relaciones no aparezca el tiempo, es decir, limitándose a los sistemas holónomos estáticos y empleando para la representación de los distintos puntos de un sistema las llamadas coordenadas generalizadas q;, tales que sus incrementos infinitesimales pueden ser absolutamente arbitrarios manteniendo el sistema en condiciones compatibles con los vínculos, la condición única BW=0 implica el sistema de ecuaciones n aptQ;=Fi=0para (Í=1, 2, 3, ..., n) u ~qjm siendo n el número de puntos del sistema. De esta forma la llamada ecuación simbólica de la Estática BW=0 relaciona la acción sobre cada punto del sistema representada por Fi con las derivadas parciales del vector de posición de los distintos puntos del sistema respecto a las coordenadas generalizadas del mismo.

Distintos tipos de equilibrio estático. El anterior sistema de ecuaciones permite llegar rápida y analíticamente a los distintos tipos de e. de los sistemas bajo acción conservativa. En este caso cada una de las Q;, llamadas componentes de la acción según qj, pueden obtenerse en función de un campo de escalares V según la relación OVQi=- , 0q¡reduciéndose la ecuación simbólica de la Estática a la expresión nQjBqj=Z- Bq;=-dV=0. Qj Las posiciones de e. coinciden con los máximos y mínimos de la función V a la que se llama energía potencial del sistema, que estará determinada a excepción de una constante aditiva, o lo que es lo mismo, está determinada la diferencia de energía potencial entre dos estados del sistema, pero es absolutamente arbitrario el fijar la configuración o estado del sistema al que corresponde energía potencial nula (v. CAMPO ESCALAR).

Puede ocurrir que después de dar al sistema un pequeño desplazamiento no se tienda a recuperar la posición previa que suponemos era de e., o que por el contrario sí se tienda a esta recuperación. A la primera situación se la llama de e. inestable, y a la segunda estable. Cuando desplazado el sistema de su posición inicial no presente tendencia alguna a recuperarla o a separarse de ella se dice que el e. era indiferente. Ejemplos de e. estable, inestable e indiferente lo son el cono recto homogéneo apoyado sobre una superficie horizontal lisa: a) por su base; b) por su vértice, de forma que el eje del cono sea vertical; y c) sobre una arista, respectivamente. Para un sistema con un solo grado de libertad se verificará para el equilibrio BV=0,o lo que es lo mismo 0v-Bq=0,ya queV=V(q), Oq y dada la arbitrariedad de Sq se tiene como condición de equilibrio:dV -0, dqque, según cuál sea la coordenada q que se considere, equivale a que la fuerza o el par sobre el sistema sea nulo. El e. será estable, inestable o indiferente según que la segunda derivada de V respecto de la coordenada que determina su posición sea mayor, menor o igual a cero.

La razón de la estabilidad de un sistema en sus posiciones de e. respecto a los máximos y mínimos de energía potencial hay que buscarla en el principio de conservación de la energía mecánica, que, para un sistema sin otra acción exterior que la que procede de un campo conservativo origen de V, supone constante la suma de la energía cinética y potencial del sistema, y en la imposibilidad de energías cinéticas negativas para la materia. Un pequeño desplazamiento aplicado a la partícula equivale al suministro de una energía cinética a la misma E, y si es Vo la energía potencial en la posición de e., debe verificarse E,a+Vo=E,+V.

Por otra parte, del hecho de ser V para un entorno de la posición de equilibrio mayor, menor o igual que Vo, se deduce que los valores de E, para este entorno son menores, mayores o iguales que E,, y por consiguiente el punto verificará, respectivamente: a) pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de e. y el e. será estable; b) alejamiento de la posición de e. y el e. será inestable; y c) constancia de E,, según se ha dicho, que coincide con la definición de e. indiferente.

Para cuerpos bajo la acción gravitatoria, si llamamos Z a la coordenada vertical del centro de masa del sistema, la condición de e. se reduce a Z

Ecuaciones puras de equilibrio. Se llaman así aquellas ecuaciones que definen el e. de un sistema vinculado y en las cuales no aparecen las reacciones de las ligaduras. Así, p. ej., en el e. de un sólido rígido vinculado a un punto fijo, las ecuaciones de la Estática imponen que la suma de todas las fuerzas activas más la reacción vincular sea nula y lo mismo con el momento de todas estas fuerzas respecto a un punto fijo, y, tomado este punto fijo como el punto objeto de la ligadura y punto de aplicación de la reacción, el momento de ésta es nulo, y por consiguiente la suma de momento de todas las fuerzas se reduce al momento de todas las fuerzas activas. Naturalmente, en todo el razonamiento se supone la rigidez del apoyo que mantiene fijo el punto de reacción vincular.

Para un cuerpo bajo la acción gravitatoria apoyado sobre un plano liso horizontal, la condición pura de e. se reduce a: La proyección del centro de masa del sistema sobre el plano de apoyo debe ser interior a toda línea convexa que sea posible trazar en el mismo de forma que encierre todos los puntos de apoyo del cuerpo.

Si el plano de apoyo es inclinado no existe posibilidad de e. si este plano es liso, pero si se trata de un plano rugoso de coeficiente de rozamiento k respecto al cuerpo apoyado en él, para que exista e. es necesario el cumplimiento simultáneo de la condición anterior relativa a la vertical trazada por el centro de masa del cuerpo, más la condición impuesta a esta misma vertical que debe formar un ángulo con la normal al plano de apoyo tal que la tangente de este ángulo sea como máximo igual a k.

Equilibrio dinámico. Si a las ecuaciones cardinales de la Estática no se les añade la condición de velocidad nula para todos los puntos del sistema, se dice que estamos en condiciones de e. dinámico. Estas situaciones están también caracterizadas por la anulación de la llamada ecuación simbólica de la Estática y caracterizan casos de movimiento continuo, consecuencia lógica de ser nulo el trabajo realizado por las fuerzas activas sobre el sistema a lo largo de sus desplazamientos. Este es el caso del movimiento estable de los electrones en sus órbitas supuestas círculos, de los astros en sus trayectorias por los espacios cósmicos o de sus giros alrededor de sí mismos o de los cohetes espaciales en tanto se consideren libres de acción gravitatoria sobre ellos, es decir, en tanto dure el llamado vuelo inercial.

Recordemos que para un punto fijo o para un sólido rígido siempre existen infinitos sistemas de referencia para los cuales el cuerpo o el punto permanecen fijos, es decir, la condición inicial de movimiento nulo es una condición puramente subjetiva sólo aplicable cuando se define previamente un sistema de referencia respecto al cual estarán definidas las posiciones de los distintos puntos del espacio, y, por consiguiente, sus velocidades y aceleraciones. Para un sistema deformable, en tanto sufre deformación, no existen en general sistemas referenciales respecto a los cuales los distintos puntos del mismo tengan en un instante dado velocidad nula, pero recordemos que para los sistemas deformables en e. debe verificarse el principio de la solidificación (v. ESTÁTICA) y, por tanto, el estudio del llamado e. dinámico se reduce e. estático más un movimiento del sistema de referencia respecto a otro sistema de referencia no privilegiado sobre él. Un ejemplo clásico de e. dinámico en el cual intervienen como fuerzas activas las llamadas fuerzas de inercia es el regulador de Watt, en el cual las mencionadas fuerzas están representadas por la fuerza centrífuga, que aparece como una fuerza activa al tomar como sistema de referencia uno que gire con el regulador, es decir, un sistema típicamente no inercial.

A. CIVIT BREU.

BIBL.: FINZI, Meecaniea Razionale, I y II, Bolonia 1962; M. LUCINI, Lecciones sobre la teoría de la Mecánica y sus aplicaciones, Barcelona 1950; H. GOLDSTEIN, Mecánica clásica, Madrid 1963; J. M. IÑIGUEZ, Mecánica teórica, clásica y relativista, Madrid 1969; F. W. SEARS, Mecánica, movimiento ondulatorio y calor, Madrid 1965.