Ecuaciones

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Matemáticas

En una estructura algebraica, una ecuación es una relación que satisfacen solamente algunos de los elementos de la estructura; es decir, no es identidad, o sea, no la satisfacen todos los elementos. Una e., por tanto, no es consecuencia de las reglas o postulados de las operaciones de la estructura (v. ÁLGEBRA). A los elementos que satisfacen la e. se les dan los nombres de soluciones, raíz o ceros de la e. Si la e. no tiene soluciones, se dice también que es incompatible. La estructura algebraica puede ser un grupo (v.), un anillo, un cuerpo, un espacio vectorial (v.) u otra. Según la estructura considerada se obtienen diferentes tipos de e., algunas de las cuales consideramos sucesivamente. Casi todos los problemas de matemática aplicada se formulan mediante ecuaciones.

1. Ecuaciones algebraicas. En un cuerpo de números (V. NÚMERO 1, 2), se llama e. algebraica a la que se obtiene igualando a cero un polinomio con coeficientes del cuerpo ao + a1x + a2x2 +... + anxn = 0, donde ao, a1,, an son números fijos del cuerpo, an =/ 0, llamados coeficientes, x es el número desconocido o incógnita y el entero n se llama grado de la e. Según éste las e. algebraicas se clasifican en: de primer grado ao+alx=0, que tiene una sola solución x=-ao:al; de segundo grado ao+alx +a2x2= 0,con dos soluciones (-al ± -,/a2 -4aoa2) : 2a2 que coinciden cuando a2-4aoa2=0;de tercer grado ao+aIx+a2x2+a3x3=0 que se reduce haciendo a2 3y dividiendo por a3 a la forma x3+px+q=0,y tiene como soluciones u+v, tomando para u, v, raíces cúbicas de_ 442a3 2+~ 4+ 27 tales que uv=- 3 ;de cuarto grado vp ao+aIx+... +a4x4=0,que poseen en general cuatro raíces de fórmula algo más complicada. La e. de quinto grado ao+aIx+... +a5x5=0 y las de grados superiores ya no pueden resolverse por métodos parecidos a las de grado menor o igual que cuatro. Las tentativas de los matemáticos durante varios siglos para obtener tales fórmulas resolutivas resultaron inútiles hasta que Ruffini y posteriormente Galois demostraron la imposibilidad de obtenerlas, y Abel estableció las condiciones para que se puedan obtener las soluciones a partir de los coeficientes aplicándoles operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces. Para llegar a éste y otros resultados se estudia la teoría de las ampliaciones de un cuerpo, en especial las algebraicas. Una tal es simple cuando se obtiene añadiendo al cuerpo un nuevo elemento, efectuando con él todas las operaciones del cuerpo y añadiendo la condición de que sea solución de una e. algebraica que define la ampliación. Se demuestra que varias ampliaciones simples sucesivas equivalen a una única, también simple, y se destacan las ampliaciones normales o de Galois, en las que el cuerpo ampliado contiene todas las raíces de la e. definidora. En cada ampliación algebraica se considera además el grupo de automorfismos (es decir, transformaciones (v.) biunívocas del cuerpo en sí que respetan las operaciones) que dejan invariante el cuerpo inicial, llamado el grupo de Galois de la e. Resolver una e. por fórmulas como las de primero a cuarto grado, o sea, por radicales, equivale a obtener una ampliación en la que estén todas las raíces de la ecuación y que pueda llegarse a ella mediante e. definidoras binómicas de la forma xn=a.

Para que pueda llegarse a una ampliación con una e. definidora dada, a través de otras sucesivas de menor grado, hace falta que el grupo de automorfismos contenga los subgrupos convenientes; este criterio permite definir las e. que son resolubles por radicales, y también otros problemas de índole análoga.

Las soluciones de una e. se pueden calcular aunque, no exista una fórmula resolutiva general, con la aproximación que se desee; muchos de estos métodos, que forman un capítulo del Cálculo numérico, se aplican también con éxito al caso de e. trascendentes, que son las obtenidas igualando a cero una serie. Si el cuerpo es el de números reales, y se quiere calcular una raíz real de la e., se puede emplear el método de Newton de sustituir la gráfica por sucesivas tangentes, buscando los ceros de la ecuación de primer grado que las representa. Otro método es el de la regula falsi, que sustituye la curva por la cuerda de un arco con extremos de ordenadas de signos contrarios. También se dan teoremas que determinan el número de raíces reales contenidas en un intervalo, de los cuales el más fundamental es el de Bolzano: "una función continua con valores de signos opuestos en los extremos de un intervalo, se anula al menos en un punto interior". También existen métodos para determinar simultáneamente todas las raíces de una ecuación con la aproximación que se desee; el más conocido es el de Graeffe, que consiste en ir determinando las e. que tienen por raíces las potencias de exponente 2v’ de las de la e. dada.

En otros problemas se trata de obtener las soluciones de varias e. simultáneas, obteniendo así los sistemas de e. En el caso de e. algebraicas, el estudio de los sistemas se basa en la Teoría de la eliminación, que estudia las e. consecuencia de las del sistema dado y en las que no aparece alguna de las incógnitas que figuraban en aquél; el estudio completo de los sistemas de e. algebraicas conduce a la Geometría algebraica en la que se conjugan teorías matemáticas importantes. En el caso de sistemas de e. lineales se puede hacer la discusión completa mediante el teorema de Rouché-Frobenius (v.). La resolución de tales sistemas en el caso de gran número de incógnitas es la base de importantes métodos (v. PROGRAMACIÓN LINEAL).

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias. En el espacio vectorial (V. VECTORES Y CÁLCULO VECTORIAL) de las funciones derivables de una sola variable, una e. diferencial ordinaria será una relación de la forma F(x, y, y’, . ., y(n,))=0 y se llama solución o integral de la e. a una función y(x) que, sustituida junto con sus derivadas en la e., la satisface idénticamente. El número n se llama orden de la e. diferencial. Las e. diferenciales aparecen en problemas geométricos: dada una familia de curvas (v.) planas con n parámetros O(x, y, a0, al, _ ., a.n)=0 derivando n veces obtendremos n+1 ecuaciones, entre las que, si se pueden eliminar los parámetros, se obtendrá una relación que será la e. diferencial de la familia de curvas. También en problemas de Mecánica: la ley fundamental de la dinámica; fuerza= masa -aceleración, en el caso de movimiento de un cuerpo da una e. diferencial de segundo orden para la ley del movimiento, y así en muchos otros problemas.

Una e. diferencial de primer orden está en forma normal cuando aparece despejada la derivada, es decir, en la forma y,= f(x’ y).

Para tipos especiales de la función/ se obtienen e. diferenciales fáciles de resolver: 1)y = f(x)es la del Cálculo integral, sus soluciones y= faxf(x)dx+const. a2)y=f x ( yes la e. diferencial homogénea, soluciones YIx dux=exp ~f(u) - u +const.

3) y’=a(x)y+b(x)es la e. diferencial lineal, soluciones xy= exp. i a(x)dx Ja1 const.+ faxb(x) ( exp.-xa(x)dxdxaa 4) e. diferencial de Bernouilli y’=a(x)y+b(x)yn se resuelve con el cambio de variable Y-"+1=u con el que se transforma en lineal; 5) e. diferencial de Riccatiy’ = a(x)yz + b(x) y + c(x)en la que no pueden expresarse sus soluciones por una fórmula general como en las anteriores, salvo cuando se pueda conocer una solución particular Y1(x),en cuyo caso la e. se transforma, con el cambio Y=y1+u, en otra de Bernouilli. El demostrar la imposibilidad de obtener en este caso y otros generales, una fórmula que exprese las soluciones, conduce a desarrollar para las e. diferenciales una teoría semejante a la de Galois, ya reseñada, sobre e. algebraicas, que está basada en la teoría de grupos (v.) de transformaciones. La teoría general de una sola e. diferencial queda incluida en la que vamos a desarrollar sobre 3. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Un sistema de e. diferenciales es un conjunto de n e. diferenciales con n funciones incógnitas, que en forma normal se escribe dX-=F(t, X), dt en donde X es el vector que tiene por componentes XI, x2, .. ., xn ,funciones incógnitas, y F es una función vectorial de t, X, de componentes fl, f2,, fm .Estos sistemas de e. son un instrumento de la Mecánica teórica, que puede decirse que da expresión física a las proposiciones de la teoría. También aparecen en muchos otros problemas físicos o técnicos. Los teoremas fundamentales en sistemas de e. diferenciales son: 1) existencia: si la función F es continua en un dominio (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS Iv), por todo punto del dominio pasa al menos una integral; 2) unicidad: si F satisface además una condición de Lipschitz, F(t, X)-F(t, Xo)JSkIX-X0I(k=constante ) u otras condiciones que pueden sustituirla, por todo punto del dominio pasa sólo una integral; 3) prolongación: en las hipótesis de 2) y en un dominio acotado, cualquier integral contenida en el dominio puede ser extendida acercándose cuanto se desee a la frontera del dominio. Un sistema de e. diferenciales se llama autónomo cuando la función F es independiente de t, o sea, de la forma dX=F(X) ;dta las curvas integrales X(t) representadas en el espacio de la X se les llama característica; puntos singulares del sistema son los vectores X para los que F(X) = 0.

En el caso de dos dimensiones X(x1, x2) se destacan algunos tipos importantes de puntos singulares: se llaman nudos aquellos a los que tienden con tangente límite todas las características próximas; puertos a los que sólo un número finito de características están en las condiciones anteriores y separan regiones en las que las características son repelidas y acaban por alejarse del punto singular; focos a los que se acercan las características en forma de espiral; centros, a los que tienen siempre características cerradas contenidas en cualquier entorno; y otros tipos varios que no tienen denominación específica. Las características tienen una interpretación física en las líneas de corriente de un movimiento fluido plano. Entonces, los puntos singulares corresponden a las posiciones de equilibrio, que puede ser estable o inestable; en el primer caso, tienden al punto singular todas las características de un entorno. También las características cerradas o ciclos pueden ser o no estables: en el primer caso las características que entran en un entorno del ciclo permanecen en él indefinidamente. La existencia de ciclos límites está asegurada por el teorema de Poincaré-Bendixon: "Si una característica permanece acotada sin tender a un punto singular, o es un ciclo o es espiral asintótica a un ciclo". En el caso de más de dos variables, los resultados anteriores sólo se consiguen generalizar en parte. Las características cerradas deben su importancia a que en la interpretación mecánica dan soluciones periódicas que, en el caso de ser estables, representan soluciones permanentes del problema dinámico.

Integral primera de un sistema de e. diferenciales es una función de las variables del sistema con derivadas no todas nulas y que permanece constante cuando las variables toman valores sobre una misma curva integral. Conociendo una integral primera no queda determinada ninguna solución, pero se sabe que las soluciones han de estar situadas en el haz de hipersuperficies representado por la integral primera igualada a una constante. Las integrales primeras de un sistema de e. diferenciales,dxi/dt =fi(t, XI, ..., xn),n,son todas soluciones de la e. en derivadas parciales au /au+ f1* au/ax +...fn* au /ax...+fn x =0, proposición que es el fundamento para la resolución de este tipo de e.

Las e. diferenciales lineales forman una clase importante que aparece en muchas aplicaciones, pues numerosos problemas físicos son de tipo lineal y los que no lo son se aproximan con frecuencia por esquemas lineales. Un tal sistema de e. diferenciales lineales es de la forma dX/dt=AX+B donde A es una matriz n X n función de t y B un vector n-dimensional también función de t. Si B=0 el sistema se llama homogéneo o sin segundo miembro. En todo intervalo tl<t

Esta solución particular puede determinarse por diversos métodos, entre ellos el de variación de las constantes de Lagrange y el de la función de Green. Para la construcción de un sistema fundamental no existe método general para todos los casos, pero hay métodos para algunos tipos generales: si las matrices. A y B=S A dt son permutables, puede obtenerse por un método de aproximaciones sucesivas de Picard construyendo la sucesión de vectores X0=X(a), Xn=(E+B) X.n-1 y buscando el límite que da X=eBX0;si la matriz A es de coeficientes constantes d A/dt =0, existe un sistema fundamental formado por vectores de forma polinómica multiplicados por un escalar de forma exponencial el`t donde A es uno de los valores propios de la matriz .Ao, y puede obtenerse un sistema fundamental sólo con operaciones algebraicas y de derivación.

Una e. diferencial de orden n,y(n) =tt, 1J, y,, ..., y(n-1)), es equivalente al sistema:dyn-1dykdt=f(t, Y, Y1, ..., Yn-1)rdt=Jk+1,YO=-y,k=0, 1, ..., n-2de primer orden, en el sentido de que a la solución y de de la e. corresponde la solución(y, y’, ..., y(n-1))del sistema, y recíprocamente; este hecho permite aplicar a estas e. la teoría de sistemas antes reseñada. En particular las e. linealesndnY dn-i dtn +a~(t) dtn-’ -b(t)r i=1equivalen a sistemas lineales, homogéneos cuando b(t) = 0.

En el caso de coeficientes constantes existe un sistema fundamental formado por productos de exponenciales &’ por polinomios, donde Á es raíz del polinomio característicoÁn+a1Án-1+... +an=0.

Las e. diferenciales pueden plantearse también en el campo de las funciones analíticas (v. FUNCIONES, TEORÍA DE) y las soluciones son a su vez funciones analíticas (es el teorema de analiticidad). La demostración de este teorema da a su vez un método para construir el desarrollo en serie de la solución: las condiciones iniciales junto con las e. diferenciales de partida y las obtenidas por derivaciones sucesivas, permiten calcular los coeficientes del desarrollo en serie de potencias de la solución. Son importantes los puntos en los que no existe tal desarrollo, llamados puntos singulares de la solución. Algunos de ellos son fijos, y se aprecian directamente de la e. diferencial; otros móviles, varían de una solución a otra. Se demuestra en e. de primer orden que si los puntos singulares son todos fijos, la e. es del tipo de Riccati. Para las de orden superior, las e. lineales de cualquier orden gozan también de la propiedad anterior: Los puntos singulares de las soluciones sólo pueden estar entre los de los coeficientes; entre ellos se destacan los llamados regulares o de Fuchs, que son los que aparecen como polos de los coeficientes de orden no superior al lugar que tiene en la e. Las e. lineales del tipo de Fuchs y de segundo orden son las que más aparecen en los problemas técnicos, y se destacan las siguientes: la más general con cuatro singularidades de ar de la forma d2u/dt2+-/3r du dt2 +t-ardt + 14 arlIr Ate+Bt+C+(t-a,)2 +4~ u=0. n (t-a,)1donde A, B, C son constantes, oc es un punto ordinario con exponentes bt1, 92; ar, Pr son los exponentes en ar,4-A=~ arA-+/.2,1+i22; 1la ecuación generalizada de Lamé, que se obtiene de la anterior al hacer 11Rr=ar+ 2 ,F22-b21= 2 i la ecuación de Mathieu que es d2u-+(a+16q cos 2x)u=0; dx2la de Legendre2 dX dum22dx dx1-xla de Bessel d2u dux2 -+ x -+ (x2- n2)u =0 ; dx2 dxla de Weberd2u1 x2dx2 +n+ 2 - 4u=0 )y la de Papperitz, que es la general con tres singularidades y a cuyas soluciones se las llama funciones P de Riemann.

En casos muy generales existen métodos de cálculo numérico que permiten aproximar las soluciones con el error que se desee; tal cálculo se efectúa rápidamente con equipos electrónicos. Para las e. lineales, y también para las polinómicas en la función y derivadas, existen las máquinas analógicas que construyen las soluciones numérica o gráficamente a partir de la e. previamente comunicada a la máquina (v. CÁLCULO II).

4. Ecuaciones en derivadas parciales. Las de primer orden homogéneas afafaf _°’Pl ax1 +P2 ax+... +Fn ax- 2n donde Pz son funciones deXI, ..., xn con derivadas continuas, se resuelven considerando el sistema asociado dxl dxn =...= Pcuyas integrales primeras nos dan aquellas soluciones. Para las e. cuasilineales de primer orden az azazPl _+P2-+ ax...+Pn-P° ax1 2 axn donde ahora las Pi pueden depender también de la función z las soluciones del sistema asociado se llaman curvas características de la e. en derivadas parciales y se obtienen las soluciones de ésta agrupando estas curvas formando hipersuperficies. Para e. de primer orden de forma general az az axl axn con aF k’., ,no todas nulas se les asocia el sistema dxidz-dpiaF - aFaF - aFaFpl+... +P.+PiazÍ taZÍ r .az, n axi az cuyas soluciones son bandas, es decir, conjuntos de una curva más una desarrollable (V. SUPERFICIES), que se llaman bandas características de la e. Las soluciones de la e. dada se construyen formando hipersuperficies que sean envolventes de bandas características. Una solución queda determinada añadiendo a la e. ciertas condiciones iniciales, que pueden ser de diferentes tipos, pero el más frecuente es el de obligar a la solución a contener una variedad dada de n-1 dimensiones, no tangente a las bandas características. Su construcción constituye el llamado problema de Cauchy de la e., y este método se designa con el mismo nombre. Otro método es el de Lagrange-Charprit, que consiste en buscar una integral completa, es decir, un conjunto de soluciones que dependa esencialmente de tantos parámetros como variables independientes hay en la e. A partir de una integral completa pueden obtenerse todas las soluciones de la e. con sólo operaciones de derivación y eliminación, y también se pueden hallar las bandas características, resolver el problema de Cauchy, etc. Esta teoría de la integral completa tiene aplicación a la Mecánica analítica, en la que las e. del movimiento pueden escribirse en la forma canónica de Hamilton dxi _ OHdpi _OHdt - api ’dt - axi ,donde lasOHPi =ax son los momentos yH(xl, ..., xn, Pi, ..., Pn)es la llamada función de Hamilton. Tales sistemas canónicos coinciden con parte del sistema de bandas características de la e. en derivadas parciales de Jacobiazaz azat +H ( xl, ..., xn, ax, .. + ax-°’1ny quedará resuelto el sistema canónico en cuanto se conozca una integral completaz=w(xl, ..., xn, al, .... an)de la e. de Jacobi. Las soluciones se expresan mediante las e.

aw aw Pi= ’ _bi.

axi aa- ,Una integral completa se expresa por la integral a lo largo de una curva extremal (v. CÁLCULO v) de la función H. De aquí que las soluciones del sistema canónico correspondan al mínimo de la integral anterior o integral de acción: éste es el principio de mínima acción.

Las e. en derivadas parciales de orden superior al primero se pueden tratar con la teoría de distribuciones de manera bastante completa, si bien tal estudio es objeto todavía de importantes investigaciones. Algunas de segundo orden, de gran interés en problemas técnicos y de Física teórica, han sido estudiadas anteriormente por métodos particulares; destaquemos las más importantes: La e. del potencial a2u a2u Au -+ ... +-0, ax¡ ax2 pertenece al llamado tipo elíptico, y es la e. a que satisface el potencial de un campo newtoniano fuera de las masas atractivas. Una solución elemental es iu=rn_2 para n_>3, u=logr para n-2, donder= ~/x¡+... +xñ, y a partir de esta solución se obtienen las demás por superposición conveniente. También aparece tal e. en problemas de torsión de barras y en movimientos fluidos planos.

La e. de ondas a2uDu= at2 que aparece en la teoría de propagación electromagnética, del sonido, placas vibrantes, y, en general, en todos los fenómenos de propagación por ondas. Son soluciones elementales, en dimensión 1,E(x, t)=const. en el interior del conot2-x2 _>0,nula en el exterior; en dimensión 2, 1E2ar 1 t2-x2-y2 en el interior del con ot2-x2- y2~> 0,nula al exterior, etc. La solución general puede obtenerse por superposición adecuada de soluciones elementales. La e. del calor auat +Du=O,aparece en los fenómenos de propagación del calor y en general en los llamados problemas de difusión. Es solución elemental en el caso de una dimensión1Y(t) e_x2/4t, 2,/~tsiendoY(t)=1parat > 0,Y(t)=0parat < 0.

Otros tipos de e. en derivadas parciales de segundo orden se comparan con los anteriores y según el comportamiento de sus soluciones se asemeje a uno de los tres tipos reseñados, se las llama, respectivamente, elípticas, hiperbólicas o parabólicas. En las primeras, las soluciones son funciones regulares o analíticas de las variables, y las condiciones iniciales se plantean en forma de problemas de contorno: la función debe tomar valores prefijados en la frontera de cierto dominio (problema de Dirichlet), o bien es la derivada según la normal a la frontera la que está obligada a tal condición (problema de Newmann), y otros. El problema tipo de las e. hiperbólicas es el problema de Cauchy, y en las parabólicas pueden presentarse problemas de todos los tipos.

5. Ecuaciones diferenciales en distribuciones. Se llama distribución (V. ANÁLISIS MATEMÁTICO II) a una aplicación T del espacio D, de funciones infinitamente derivables nulas al exterior de una bola, en el cuerpo complejo, que reúne las condiciones: 1° es lineal, es decir ,T(a(p + b¡p)=aT"p) + bT(p)y, 2° es continua, es decir, si wn es una sucesión que tiene límite w en el espacio D y todas las sucesiones derivadas tienen por límites ’p" P", ...

entonces también lím T(

Por tanto, toda e. diferencial que sea lineal en la función y derivadas puede considerarse como una e. en distribuciones. En una e. pueden aparecer soluciones distribuciones que no son funciones, y también se determina una clase de e. en derivadas parciales que no admite ningún tipo de solución ni función ni distribución. La discusión de las e. de orden superior sólo puede hacerse de manera completa tomando desde un principio la teoría de distribuciones, y conduce a problemas matemáticos que actualmente son objeto de investigación.

6. Ecuaciones integrales. La función incógnita viene obligada a satisfacer a cierta relación en la que una de las operaciones a efectuar es la de integración (v. CÁLCULO iv) de cierta expresión calculada a partir de la incógnita. Las más importantes son las lineales, es decir, aquellas en que las operaciones a efectuar conmutan con la suma y el producto por números. Se estudian principalmente los siguientes tipos: 1°, e. de Volterra de 2a especie

donde wo=f(x)y,p.= f xK(x, s)tpn_1s)ds, ay que se demuestra converge uniformemente para todo intervalo a_<x_

7. Ecuación de convolución. Se define como producto de convolución de dos funciones f(x), g(x)(o distribuciones), la nueva función (o distribución) h(X) = fl~ f(x-t)g(t)dt=+~ g(x-t)f(t)dt.

Se le designa abreviadamente por f*gy puede iterarse al caso de varios factores gozando de las propiedades asociativa y conmutativa en casos muy generales. En un álgebra la convolución, una e. de convolución de la forma A*X=B tendrá solución si y sólo si A tiene un inverso A-’ en el álgebra, y entonces la única solución es X=A-I * B.

Al elemento A-’ se le llama la solución elemental de la e. La resolución de muchas e. en derivadas parciales y e. integrales pueden obtenerse mediante convenientes e. de convolución.

V. t.: ÁLGEBRA; TRANSFORMACIÓN; ESPACIOS MATEMÁTICOS VI 1.

J. AUGÉ FARRERAS.

BIBL.: E. algebraicas: J. REY PASTOR, Lecciones de Álgebra, 2 ed. Madrid 1935; B. L. VAN DER WAERDEN, Algebra, 1, 5 ed. (1960), y II, 4 ed. Berlín 1959.-Ecuaciones diferenciales: W. HuREWICZ, Sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, Madrid 1966; E. A. CODDINGTON y N. LEVINSON, Theory of Ordinary Differentials equations; E. A. TRICOMI, Equazioni a derivate parziali, Roma 1957.-Ecuaciones integrales: R. COURANT y D. HILBERT, Methods of Mathematical Physics, 1 (1953), 11, Nueva York 1962; G. VALIRON, Équations Fonctionelles, Applications, París 1945.-Distribuciones y ecuaciones de convolución: L. SCHWARTZ, Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques, París 1961; 1. M. GUELFAND y G. E. CHILOv, Les distributions, 1 (1962), 11 (1964), 111, París 1965.