Diferencias Finitas CIENCIA

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Ciencia

Dada una función f (x) mediante una tabla de valores f(XI), f(x2), ..., f(x?),a las diferencias de dos consecutivos O’f(xi)=f(xi+I)-f(xi) se las llama diferencias primeras de la función o de la tabla; tomando después

02f(xá=O’f(xi+I)-0(xi)

se obtienen las diferencias segundas, y así sucesivamente se definen las diferencias de orden r (número natural)

árf(xi)=Ar-If(xi+I)-,ár-I f(xi).

La primera utilidad de estas d. f. es la de hallar valores de la función no contenidos en la tabla (v. INTERPOLACIÓN), y permiten también detectar errores en los valores que están incluidos en la tabla. Por ej., en un polinomio de grado n las diferencias n-ésimas correspondientes a incrementos constantes

xi+1-xi

son todas iguales.

Las d. f. tienen su principal aplicación en la resolución numérica (v. CÁLCULO NUMÉRICO) de ecuaciones diferenciales. En el caso de una ecuación ordinaria de la forma y,=f(x, y),

se puede sustituir aproximadamente la derivada y’ por el cociente incremental

AylAX.

Se obtiene así una ecuación en d. f. ¿ly=f(x, y) Ox o bien

yi+I=yi+f(x, yáOx,

que permite la obtención sucesiva de los valores de la solución. El método puede perfeccionarse sustituyendo el valor

f(x, yt)

por otro que sea promedio de valores de f en varios puntos del intervalo

(Y¡, yt+I).

Así se obtienen las fórmulas de Runge-Kutta, de las que las más usadas son

Ox

yi+I=yi+ 2 f(x, yi)+f(x+Oxr yi+OX.&, yi)) ~62 2

yi+I=yo+.-f(x, y¡)+ 4f (x+ ’, yt+f(x, yt)

) +

+f(x+Ox, yi+Axf(xyJ)

Métodos especiales existen para las ecuaciones lineales en d. f. Para dar una idea de los mismos, escribiremos la ecuación tomando

Ox=1

(siempre puede conseguirse que así sea por un cambio de variable), con lo que la ecuación toma la forma en el caso homogéneo o sin segundo miembro:

p;(x)u(x+i)=0,

iL=1o

donde las pi(x) son funciones dadas, la u(x) es la incógnita de la ecuación. La existencia de soluciones se ve inmediatamente: fijados arbitrariamente los valores de u(x) en un intervalo

c<x<c+n

la ecuación permite despejar los valores de u(x) para c-1<x<c,

siempre que x no sea un cero de po(x). Sucesivamente, se podrán ir calculando los valores de u(x) en los intervalos

c-v< c-v+1,v=1, 2, .. ,

es decir, queda definida u(x) para x < c. Análoga prolongación podrá efectuarse hacia la derecha para x >_ c si se escribe la ecuación en la forma

pn-¡(x-n)u(x-¡)=O,

i=0

y se exceptúan los ceros de la función dada p,(x). También puede considerarse la ecuación en el campo complejo, y la prolongación se efectúa entonces por bandas paralelas al eje imaginario, salvo los puntos singulares de los coeficientes pi(x) y los ceros de po, pn n soluciones de la ecuación

ui(x), u2(x), . , u?(x),

se dice que forman un sistema fundamental si no existe entre ellas ninguna combinación lineal

11(x)ui(x)+... +fn(x)un(x)=0, con coeficientes fi(x) funciones periódicas fi(x + 1) = fi(x). Condición necesaria y suficiente para ello es que el determinante D(x) de los valores de las u;(x) en los puntos x, x+1, ..., x+n-1,

sea distinto de cero. Existen métodos especiales para la obtención de métodos fundamentales expresados mediante ciertos desarrollos en serie.

Los desarrollos en serie más apropiados para el estudio de las ecuaciones en d. f. son las series de facultades. Así se llaman las de la forma

n(X)=~ as+is! s=o x(x+1)... (X+ S)

,

que convergen en un semiplano Re x>

cuya recta límite se llama la abscisa X de convergencia de la serie. La convergencia es además absoluta (o sea en la serie de módulos) en otro semiplano

Re x>l£

donde w es un número real, comprendido entre x y X+1. Estas series son instrumento muy útil en las ecuaciones en d. f., de igual manera que las de potencias lo son en las ecuaciones diferenciales ordinarias. Si en una ecuación se conocen soluciones particulares independientes se puede rebajar el orden de la ecuación; si ésta es de primer orden, se puede obtener la solución mediante una sumación. Si la ecuación lineal es con coeficientes constantes y orden cualquiera

pi(x) = ci

sus soluciones son de forma exponencial ax donde a es raíz de la ecuación característica

an+c?_la"-1+... +co=0.

Esto nos da un sistema fundamental en el caso de raíces todas distintas; en otro caso se completa con soluciones del tipo,

xax, x2ax, ...

J. AUGE FARRERAS.

BIBL.: N. E. NÓRLUND, Differenzenrechnung, Berlín 1924; Cx. JORRAN, Calculus of finite dif ferences, Budapest 1939; S. GOLDBERG, Ecuaciones en diferencias finitas, Barcelona 1964.