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El concepto de c. es el resultado de una de las más recientes abstracciones matemáticas y su utilidad va progresivamente aumentando, puesto que permite planteamientos comunes de problemas que anteriormente aparecían inconexos.

Un concepto preliminar es el de clase, en sentido de la teoría de conjuntos (v.). Debemos limitarnos a indicar intuitivamente, que una entidad compuesta por diversos elementos es una clase cuando existe un criterio que permite distinguir si un objeto pertenece o no a esa entidad. Una formulación más abstracta del concepto de clase exige recursos muy superiores. Una c., C, es una estructura matemática determinada por los elementos siguientes: a) una clase, OC, llamada clase de los objetos de C cuyos elementos son los objetos de la c.; b) una clase, Hom (3, llamada clase de los morfismos de C cuyos elementos son los morfismos de la c.; c) para cada par de objetos, A, B, de OC, un conjunto, Hom (A, B), denominado conjunto de los morfismos de A en B (para estos morfismos se dice que A es el objeto inicial y B es el objeto final); este conjunto puede ser el conjunto vacío, es decir, hay objetos entre los que no hay ningún morfismo; d) para tres objetos cualesquiera, A, B y C, de OC, una aplicación (V. ÁLGEBRA; CORRESPONDENCIAS) de Hom (B, C) X Hom (A, B) en Hom (A, C), que se representa multiplicativamente, y que se denomina producto de morfismos, y que verifica las propiedades siguientes (siempre que eXIstan los productos correspondientes):

1) a(bc)=(ab)c;

2) para todo objeto, A, existe un elemento, IA, del conjunto Hom (A, A), tal que

b1A=b, lAC=c

Para cualesquiera morfismos b y c tales que esté definido el producto respectivo; estos morfismos se denominan morfismos unidad o simplemente unidades.

Observemos que en la definición de c. cada morfismo determina unívocamente su objeto inicial y su objeto final. Los ejemplos más significativos de c. son los siguientes: a) la c. de los conjuntos: los objetos de esta c. son los conjuntos, y los morfismos entre dos conjuntos son las aplicaciones entre esos conjuntos; b) la c. de los módulos: los objetos son los módulos (por la derecha o por la izquierda) definidos sobre un anillo fijo, y los morfismos entre dos módulos son los homomorfismos entre esos módulos. Cuando se toma el anillo igual al anillo de los números enteros se óbtiene la c. de los grupos (v.) conmutativos; c) la c. de los espacios tOpOlógiCOS (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VI): los objetos son los espacios topológicos, y los morfismos entre dos espacios topológicos son las aplicaciones continuas entre ellos; d) la c. de los anillos: los objetos son los anillos, y los morfismos entre dos anillos son los homomorfismos usuales. En todas estas c. los morfismos se multiplican mediante la composición de las aplicaciones que los definen. Se puede notar ya en estos ejemplos que este concepto abarca igualmente a estructuras algebraicas (módulos) y a estructuras topológicos (espacios topológicos).

Los functores (v. LÓGICA II, 2) son las aplicaciones naturales entre c., es decir, aplicaciones que son compatibles con la estructura de las c. Los functores pueden ser covariantes y contravariantes. Un functor covariante, F, de una c. (3 en una c. C’ se compone de dos aplicaciones (que se suelen indicar con el mismo símbolo que el functor): una aplicación de los objetos de C en los objetos de C’ y otra aplicación de los morfismos de C en los morfismos de C’, que han de verificar las propiedades siguientes:

1)Si f E Hom (A, B), Ff E Hom (FA, FB)

2)F(fg)=(Ff) (Fg);

3) el transformado por F de un morfismo unidad es un morfismo unidad. Un functor contravariante, F, se compone asimismo de dos aplicaciones que cumplen las condiciones siguientes:

1)Si f E Hom (A, B), Ff E Hom (FB, FA);

2)fg)=(Fg) (Ff);

3) el transformado por F de un morfismo unidad es un morfismo unidad. Dentro de esta estructura se pueden dar definiciones de monomorfismo, epimorfismo, morfismo nulo, núcleo, conúcleo, imagen, coimagen, suma y producto directos, límites inductivos y proyectivos, que coinciden con estas nociones clásicas del álgebra cuando se toman en la c. oportuna. Nos limitaremos a citar, por su importancia, las c. abelianas a las que es posible extender los resultados más importantes del álgebra homológica y que comprenden como caso particular la c. de los módulos.

V. t.: ÁLGEBRA; CONJUNTOS, TEORÍA DE; CORRESPONDENCIAS.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: D. G. NORTHCOTT, An introduction to Homological Algebra, Cambridge 1960 (iniciación sencilla a las técnicas de las c.); B. MITCHELL, Theory of categories, Nueva York 1965; CH. FRESHMANN, Catégories différentiables et Geométrie différentielle, Montreal 1961.