Área

Categoria:

Matemáticas

Función que asigna un número real a cada superficie o región de superficie limitada por una curva. El problema del á. pudo estar en el origen mismo de la Geometría y acaso debe a él su nombre esta ciencia, pero ha sido muy fuerte la evolución sufrida por este concepto, y excepcionalmente rápida en el siglo actual, implicando problemas de análisis funcional, topología, geometría diferencial y cálculo de variaciones, y llegando a englobarse en la más general teoría de la medida.

En su aspecto más elemental se trataría de definir el á. de un polígono plano. Consideraciones intuitivas llevarían a fijar las primeras condiciones que debe cumplir dicha función. Esencialmente son dos: a) si dos polígonos son iguales tienen la misma á.; b) si un polígono se descompone en polígonos sin puntos interiores comunes, el á. del polígono dado es igual a la suma de las áreas de los polígonos de la descomposición. Por comodidad de lenguaje, hemos llamado á. en este párrafo al número que la función asigna a cada polígono, como es habitual siempre que no haya lugar a equívoco. Consecuencia de esas dos condiciones es que si dos polígonos se pueden descomponer en polígonos respectivamente iguales, tienen la misma á.

A partir de estas ideas, Hilbert (v.) realizó una elaboración sistemática del concepto de á. de un polígono. Establece una relación de equivalencia por descomposición entre polígonos, de modo que dos de ellos son equivalentes cuando pueden descomponerse en un número finito de triángulos, siendo cada triángulo de un polígono igual a uno del otro. Si no se admite el postulado de Arquímedes (v. GEOMETRÍA vi) es necesario añadir una nueva equivalencia por completo: la de dos polígonos P y Q, cuando existen otros dos polígonos P’ y Q’ equivalentes por descomposición y tales que P+P’ es equivalente por descomposición a Q+Q’. Esta equivalencia, en la que está contenida la otra, permite clasificar el conjunto de todos los polígonos del plano en clases de polígonos equivalentes por complemento, o simplemente equivalentes.

Elegido el triángulo como figura base, se demuestra fácilmente que el producto de la longitud de uno de sus lados por la altura correspondiente a él no depende del lado elegido. A ese producto, multiplicado por un número fijo k, lo tomaremos como definición del á. de dicho triángulo. Se puede demostrar que, dado un polígono cualquiera, si se descompone en triángulos, la suma de las á. de dichos triángulos no depende de la descomposición, y a esa suma se le llamará, pues, á. del polígono. Es ya cuestión de una simple comprobación ver que todos los polígonos equivalentes tienen la misma á. y que los polígonos que tienen la misma á. son equivalentes. La función á. establece, pues, una correspondencia biunívoca (v. CORRESPONDENCIAS) entre las clases de polígonos equivalentes y los números reales. La constante k implicada en la definición depende del polígono que se elija como á. unidad. Si, como es costumbre, se toma el cuadrado de lado unidad, k vale i.

El paso al cálculo del á. de un recinto plano limitado por una curva cerrada, que provocó la invención del cálculo integral (v. CÁLCULO Iv), requiere ya métodos del análisis, igualmente traducibles al á. de un recinto de superficie. Concretamente, si se considera la aplicación del recinto plano A en el espacio euclídeo tridimensional definida por las ecuaciones

x=x(u, v),y=y(u, v),z=z(u, v);(u, v) E A,

el á. está determinada por la fórmula

a(~, Z)z( a(z, x) ) za(x, y)

fAa(U, v)+49(u, v)+19(u, v) ) 2 ]du dv, pero el campo de validez de esta fórmula está muy restringido por los condicionamientos que hay que poner

a las hipótesis, y uno de los esfuerzos de nuestro siglo es la labor crítica de determinar los campos de validez de las distintas nociones matemáticas. Se creía, p. ej., haber llegado a definir el á. de un recinto como el supremo o el límite de las á. de las superficies poliédricas inscritas en el recinto, que tendiesen a él. Un ejemplo de Schwarz en el caso elemental del cilindro demostró que este límite podía no existir o ser infinito. Hoy se toma como á. de una superficie continua el límite inferior de las á. elementales de las superficies poliédricas, inscritas o no en la superficie dada, que tienden a ella. Tal definición es debida a Lebesgue (v. INTEGRACIÓN) y es equivalente a otras definiciones de Peano y de Geócze que figuran entre las más importantes aportaciones a este problema.

J. JAVIER ETAYO.

BIBL.: P. ABELLANAS, Elementos de Matemática, 4 ed. Madrid 1965; D. HILBERT, Fundamentos de la Geometría, Madrid 1953, 77-90; L. CESARI, Surface Area, Princeton 1956; T. RAD6, Length and Area, Nueva York 1948.