Transformación (matemáticas)

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Matemáticas

Dados dos espacios, E y E’, con una cierta estructura (V. ÁLGEBRA), se suelen llamar transformaciones del espacio E en el espacio E’ a aquellas aplicaciones de E en E’ que son compatibles con las estructuras que se han dado en E y en E’. En general, los espacios usados en las diversas teorías matemáticas poseen una estructura relacionada con un retículo constituido por subconjun.tos del espacio dado. Si f es una aplicación de E en E’, estaaplicación da lugar a una aplicación del retículo de las partes de E en el -retículo de las partes de E’ (que se suele indicar con el mismo símbolo, f) y a una aplicación del retículo de las partes de E’ en el retículo de las partes de’E (que se suele indicar con el símbolo f-’); las condiciones que se suelen imponer a las aplicaciones para que sean t. suelen referirse a una de estas aplicaciones. En general, podemos decir que t. son aplicaciones entre espacios que resultan naturales con sus estructuras; no se puede precisar más este concepto sin descender a casos particulares. Se va a tratar de desarrollar el concepto de t. dentro del campo geométrico; en concreto, nos ocuparemos del espacio vectorial y de los espacios derivados de manera inmediata del espacio vectorial; espacio proyectivo, espacio afín y espacio euclídeo (Y. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII, V, I y II respectivamente). Dentro de las t., suelen presentar unas características peculiares las que aplican un espacio en sí mismo. Indicaremos, finalmente, que el papel de las t. es hoy de una importancia creciente, pues, en general, pueden expresarse casi todas las propiedades importantes de los espacios a través del conjunto de sus t. (V. GEOMETRíA II Y VI).

Si E y E’ son espacios vectoriales definidos sobre el mismo cuerpo, las t. de E en E’ son los homomorfismos (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII) o aplicaciones lineales; si E y E’ son espacios vectoriales distintos, el estudio de los homomorfismos se hace de un modo sencillo; un caso interesante por sus aplicaciones es cuando E y E’ son el mismo espacio vectorial y la aplicación que define la t. es biunívoca (automorfismos). Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, n, y f es un automorfismo, un problema que se plantea es el de buscar una caracterización de I, es decir, unos elementos que permitan construir el automorfismo o, al menos, precisar sus propiedades fundamentales. Sea(xo, X J, .... Xn) ~ (XI, X2,X.) (a¡¡)la ecuación matricial que nos da el automorfismo con relación a una base, en que (a¡¡) es una matriz cuadrada no singular; si se efectúa un cambio de base, dado por la relaciónX=YT,las ecuaciones del automorfismo dado toman la forma Y* = YTAT-1;de aquí se deduce que las matrices A y TAT-1 representan las ecuaciones del mismo automorfismo, aunque con respecto a bases distintas; el problema puede plantearse así: ¿qué condiciones deben cumplir las matrices A y B para que representen el mismo automorfismo?, o, lo que es un problema equivalente, ¿qué condiciones hay que exigir en las matrices A y B para que exista una matriz T tal queA=TBT-17Se han logrado caracterizar de un modo satisfactorio estas condiciones, que son las siguientes: si se considera una matriz no singular, A, se llama matriz característica de la matriz dada a la matrizA-tl,en que t es indeterminada e I es la matriz unidad; se D¡(t) al máximo común divisor de los menores de orden i de la matriz característica considerados como polinomios en t; se llama factor invariante de orden i, fi(t), al cocienteD. &)lD,,ffi.

La condición necesaria y suficiente para que dos matrices no singulares A y B sean tales que exista una matriz T tal queA=TBT-1es que posean los mismos factores invariantes. Estos factores invariantes están íntimamente relacionados con la estructura de las variedades lineales (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS VII) que se transforman en sí mismas en el automorfismo.

Las t. propias de un espacio proyectivo (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS v) de dimensión n son las aplicaciones de ese espacio en otro espacio de dimensión n tal que, además de ser biunívocas y transformar puntos linealmente dependientes en puntos linealmente dependientes, verifiquen que puntos linealmente independientes se transformen en puntos linealmente independientes y reciben el nombre de proyectividades. A las proyectividades entre un espacio y él mismo se las llama colineaciones, y a las proyectividades entre un espacio y su dual (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS vii, 4), correlaciones. Se puede demostrar que dada una colineación existe un automorfismo, s, del cuerpo sobre el que está definido el espacio y una matriz no singular, A, tal que el punto de coordenadas(X0, XI, .... Xn)se transforma en el punto de coordenadas (sxo, SX1, - - -, SXn); reduciéndonos al caso de colineaciones con automorfismo unidad surge el mismo problema que en los automorfismos de espacios vectoriales; el resultado es similar: la condición necesaria y suficiente para que dos matrices A y B representen la misma colineación, respecto a dos sistemas de referencia adecuados, es que si [10)] y [g¡(t)] son los respectivos factores invariantes, exista un elemento fijo, r, del cuerpo de referencia tal que para todo ifi(0=gftt).

Las t. entre espacios afines (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS I) se llaman afinidades. Una afinidad entre dos espacios afines es una aplicación biunívoca que transforma puntos linealmente dependientes o independientes en puntos linealmente dependientes o independientes, respectivamente. Esto implica que la correspondencia determinada por una afinidad entre las variedades lineales de los espacios es biunívoca y que a suma o intersección de variedades lineales hace corresponder suma o intersección, respectivamente, de variedades lineales. Si se consideran los espacios afines como subespacios de un espacio proyectivo, existe una correspondencia biunívoca entre las afinidades y las colineaciones de los espacios proyectivos que transforman el hiperplano impropio en el hiperplano impropio; este resultado se puede interpretar geométricamente diciendo que la condición necesaria y suficientepara que una colineación sea una afinidad es que transforme variedades paralelas en variedades paralelas, esto es, que conserve el paralelismo de variedades. Con respecto a la expresión de las afinidades, cuando se toman sistemas de referencias en los espacios proyectivos de los que son subespacios los espacios afines considerados, se tiene un resultado similar al del caso de la colíneación: dada una afinidad, existe un automorfismo, s, del cuerpo sobre el que está definido el espacio afín y una matriz no singular,Aen queaoo9,’ 0,alo~a2o~ ... ~ano~O, tal que al punto de coordenadas(X0, XI, - - .’ Xn)le corresponde el punto de coordenadas (SX0, sX1, - - -, sxn)A. Observemos que la condiciónajo=0, i=1,2--n,equivale a imponer que el hiperplano impropio se transforme en el hiperplano impropio. Este resultado tiene por consecuencia que existen tantas afinidades que transforman n + 1 puntos lineaImente independientes en n + 1 puntos linealmente independientes como automorfismos posee el cuerpo de definición del espacio afín.

En un espacio euclídeo (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS II), las t. propias del espacio son las semejanzas y los movimientos. Las semejanzas son las afinidades que conservan la perpendicularidad de variedades lineales. Las semejanzas pueden caracterizarse por el hecho de que transforman el absoluto en el absoluto (de aquí se deduce que la noción de semejanza puede extenderse a los espacios hiperbólico y elíptico); es decir, una afinidad representada por una matriz A es una semejanza si existe un numero real, r, tal querfi = A’nA,siendo EI la matriz que representa la ecuación del absoluto del espacio (V. ESPACIOS MATEMÁTICOS II). Un caso particular de la semejanza es la homotecia, que es la semejanza cuyas ecuaciones pueden representarse por una matriz del tipoH=(h¡¡),en quehij=0 para ¡71-i, hoo=l, hii=k, para ¡7¿=0.

Los movimientos son las afinidades que conservan la perpendicularidad y la distancia entre los puntos; casos especiales de movimientos son los giros, simetrías y traslaciones; los giros y simetrías pueden expresarse mediante una matrizmtal quemil~l,mio~moj~Opara i=1,2, .... n; mii=cos(viui) para 0=1,2--n,en que U 1, U2, ..., u, )yt v 1, V2, ..., v.

son las bases métricas; las traslaciones se pueden expresar mediante una matrizT=(tij),tal quet0o = 0,tio = 0parai = 1, 2, ..., n;ti¡ = 0parai = j,i, j= 1, 2, ..., n;ti¡= 1parai = 1, 2, ..., n.

Se puede demostrar que toda semejanza es el producto de una traslación, por un giro, por una homotecia y por una simetría (que puede reducirse a la identidad), En particular, los movimientos pueden obtenerse como producto de una traslación, por un giro y por una simetría (que puede reducirse a la identidad). Se puede establecer una clasificación de las semejanzas en directas o inversas, según sea mayor o menor que cero el determinante de la matriz que las define; este concepto está íntimamente relacionado con el problema de la orientación del espacio.

M. LAPLAZA GRACIA.

BIBL.: P. ABELLANAS, Elementos de Matemáticas, Madrid 1961; íD, Geometría básica, Madrid 1961. Y. t.: bibl. de ESPACIOS MATEMÁTICOS I, II, V y VII y la de GEOMETRIA II, VI Y VIII.