Rotación FÍS.

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Física

Rotación de un sólido con un eje fijo. Un sólido rígido está en movimiento de r. cuando sus partículas describen circunferencias cuyos centros están en una recta fija (eje de giro), que es ortogonal a los planos de todas estas circunferencias. En un intervalo de tiempo infinitésimo, dt, una partícula P del sólido recorre un arco dsp sobre su trayectoria circular de radio Rp, el cual barre un ángulo central d4>. Este ángulo es igualmente barrido por todas las partículas móviles del sólido.

Cada una de estas partículas P tiene una velocidad vp de valor:

dsp _ Rpdo _

vp_ dtdt -Rp W

siendo

do o) = dt

la velocidad angular de r. del sólido.

Si se tiene en cuenta la dirección y el sentido de estas magnitudes, así como sus leyes de composición, es necesario expresarlas vectorialmente (fig. 1). El vector velocidad angular w tiene por dirección la del eje de giro 00’ y su sentido es tal que desde el extremo del vector se ve efectuar el movimiento de r. en sentido anti-reloj. La partícula P determinada por su vector de posición

rp=0p

tiene un vector velocidad vp en dirección a la tangente en P a la circunferencia trayectoria, cuyo radio es:

Rp=rp sen B,

el módulo de vp vale

iv,I =Rp sen B ? uw,

verificándose la relación vectorial: vp=rp A a>. (V. VECTORES; CÁLCULO VECTORIAL).

El vector aceleración angular a se define como da>

a = dt

su módulo es

dcw dzo dtdtz ’

siendo paralelo o antiparalelo a w según que w crezca o decrezca en ese instante.

Movimiento de un sólido con un punto fijo. Si un sólido móvil tiene un punto fijo O, todo movimiento infinitesimal del sólido es una r. infinitesimal alrededor de un eje que pasa por O. Los puntos móviles del sólido se mueven sobre superficies esféricas de centro en O. Un

movimiento finito se compone de una sucesión de giros elementales alrededor de ejes instantáneos de r. que forman un haz de rectas de vértice en O. En general, el vector ú> varía continuamente en módulo y dirección, y el vector aceleración angular a tiene dirección distinta a la de a>.

La posición de un sólido con un punto fijo O está determinada por tres parámetros. En efecto, un triedro rígidamente ligado al sólido

(O, X;, Xz, X3)

queda situado unívocamente respecto a otro triedro inmóvil o fijo de referencia

(O, XI, X2, X3)

mediante el conocimiento de tres ángulos: 0 precesión, B nutación, tP r. propia (ángulos de Euler). En la fig. 2 se observa que los planos coordenados

(O, XÍ, XÍ)y(O, XI, XZ)

intersectan en la recta ON (eje nodal) y determinan los mencionados ángulos.

Partiendo de la posición inicial del triedro fijo (0, XI, XZ, X3) se llega a una posición arbitraria del triedro móvil (0, X í, X;, Xs) efectuando tres r. en el siguiente orden:

la Alrededor del eje OX3, ángulo de r. 4>=(ÓX,, ÓN).

2a Alrededor del eje UN_, ángulo de r. 0=(OX3, OX3).

3a Alrededor del eje OX3, ángulo de r. 0=(ON, OXí).

El proceso no es conmutativo, por lo que las r. han de realizarse en el orden indicado.

A cada punto de un sólido que ha rotado le corresponden dos ternas de coordenadas respecto de un triedro fijo: una terna en la posición inicial del sólido, antes de iniciarse la r., y otra terna en la posición final del sólido, después de la r. El paso de una a otra terna de coordenadas se realiza analíticamente multiplicando el vector columna de coordenadas de la segunda terna por una matriz ortogonal de r. (transformación activa).

A cada una de las tres r. indicadas le corresponde respectivamente una de estas tres matrices:

cos ¢sen <b0100

(45)=-senocos d>0;A(0)=0sen ocos o

001 )’0;

cos o-sen o

cos tpsen tP0

A"P)=~-sen qrcos q)0 0 0 1

La matriz A, producto de estas tres matrices, A=A(J2) - A(0) - A(O),

se denomina matriz de Euler y relaciona en forma lineal y homogénea las componentes

(V1, V2, V3) de un vector V en el triedro ligado con las componentes (VI, V2, V3) del mismo vector respecto al triedro fijo en la siguiente forma:

j=3

V==A;iVi; i=1,2,3; j=1,2,3. 1-1

La matriz A es ortogonal y representa analíticamente una única r. equivalente a las tres indicadas.

Una r. finita es una magnitud dirigida, ya que está ligada a una dirección (eje de giro), a una cuantía (ángulo de giro) y a un sentido (giro en sentido reloj o anti-reloj); sin embargo, no tiene carácter vectorial, ya que la ley de composición de las r. no es conmutativa, y dos r. de ejes concurrentes no equivalen a una r. cuyo eje es la diagonal del paralelogramo formado por los ejes de las r. compuestas.

La expresión matricial de las r. finitas y el comportamiento de éstas en los cambios de ejes da a las r. carácter de tensores ortogonales.

Composición de velocidades angulares. En la fig. 3 se esquematiza el siguiente proceso cinemático: el sólido S3 gira con velocidad angular W2 alrededor del eje 02 02 solidario a la manivela S2 (movimiento relativo). Simul

táneamente, la manivela S2 gira alrededor del eje O, Oí con velocidad angular W, respecto del suelo Si (movimiento de arrastre). En cada instante la velocidad vp de un punto P de S3 respecto del suelo S, (movimiento absoluto) es la adición vectorial de las velocidades relativa (Vre1=w2 n rp) y de arrastre (warr=wl A rp).

Si los ejes O, Oí y 02 02 concurren en O, este punto está en reposo, y 00’ es el eje instantáneo de r. de S3 respecto de S,. Se verificarán las siguientes relaciones:

Vp=warr+Vrel=W1 n rp+w2 n rp=w n rp;W =W1+w2.

La velocidad angular instantánea cw es la suma vectorial de las velocidades angulares concurrentes aw, y 002. El módulo de cw vale:

~wJ=~/(0¡+Gh+2w,w2cos~p,

siendo w el ángulo formado por los vectores w, y c02. Cuando el ángulo w vale 0° ó 180° corresponde al caso en el cual el punto de intersección de los ejes de w, y cw2 está muy alejado (es el punto del infinito);

IWI=1w11 +~W21,á1cu1= IWII-!w21-

Saplica en un punto O tal que se verifica la relación: W n OP=(J, n OIP+(02 n 02P.

Cuando las velocidades angulares (J, y W2 son iguales en módulo, de direcciones paralelas y sentidos contrarios, se tiene un par de r. En este caso, todas las partículas del sólido tienen igual velocidad, lo que corresponde a un movimiento de traslación (v. MOVIMIENTO). En efecto, si los ejes de las velocidades de r. 1 A (0IP-02P)=WI /0102 (independiente de P).

Recíprocamente, todo movimiento de traslación de un sólido puede descomponerse en un par de r.; cinemáticamente, la traslación y el par de r. son equivalentes.

Si un sólido está animado de un movimiento de r. instantánea de velocidad angular W aplicada en O, su movimiento es equivalente a la composición de una traslación

va,=W A 00’

y una r. lo aplicada en 0’. La traslación adicionada es el momento de un par de r. formado por el vector original

Rotación de un fluido. El concepto de velocidad angular establecido hasta ahora era una magnitud cinemática de la totalidad del sólido (v. DINÁMICA); puede extenderse este concepto a un medio deformable considerándolo como una propiedad local de cada punto del campo de velocidades v=v(xyz) del fluido móvil. Si la velocidad varía al pasar de un punto a otro del campo, una pequeña región de fluido situada en el entorno considerado se deforma, gira y posiblemente se dilata en el transcurso del tiempo (v. FLUIDOS II).

Consideremos un cubo infinitésimo de lados dx, dy, dz en el seno del campo de velocidades del fluido; a lo largo de sus aristas varían las componentes de v. En la cara perpendicular al eje OZ, la componente v varía a lo largo del lado dy pasando del valor vx al livx vx+ ~y dy.

Debido a ello, el cuadrado se deforma, y el lado paralelo al eje OY gira un ángulo infinitésimo

-wx dy dt ay

R~ =dy

alrededor del eje OZ durante el intervalo dt. Así mismo, la diagonal de dicha cara gira un ángulo _P, 2

Análogamente varía la componente vy a lo largo del lado dx, pasando del valor vy al ~vy vy+ dx, (9x

por lo que el lado paralelo al eje OX gira un ángulo avy dx-dt 8x R2= dx y la diagonal gira otro ángulo _a2 2’

ambos alrededor del eje OZ y durante el intervalo infinitésimo dt.

El giro total de la cara alrededor del eje OZ vale: dt Dvy Dvx 1(01+R2)=2- ( ax - ay (fig. 4). La velocidad angular con que gira el cubo alrededor del eje OZ vale:

Dvy - Dvx

12Z_ _ i

( ()xay

Razonando análogamente con las otras caras se obtienen las velocidades de r. del cubo flX y 12,, alrededor de los ejes OX y OY que son respectivamente:

~ ov, Dvy 7LX=1 _ ay Dz Dvx - OV,. DZ Dx

El vector rot v=2n

de componentes 212x, 212,,, 212,, denominado rotacional del campo de velocidades, determina la velocidad de r. instantánea en cada punto del campo de velocidades del fluido.

V. t.:CINEMÁTICA;MOVIMIENTO;GIRóSCOPO;DINÁMICA; VECTORES; FLUIDOS 11, 3, 4.

A. M. CRIADO PÉREZ.

BIBL.: J. M. MIGUEZ y R. CID, Mecánica teórica, I, Madrid 1965; H. GOLDSTEIN, Mecánica clásica, Madrid 1970; H. LAME, Hydrodynamics, Cambridge 1950; H. y B. S. JEFFREYS, Methods ot Mathematical Physics, Cambridge 1950; H. O. NEWBOULT, Analytical Method in Dynamics, Oxford 1946; C. SCHAEFER, Einlührung in die theoretische Physik, I, Berlín 1929 (reed. 1. W. EDWARDS, 1948); A. SOMMERFELD, Vorlesungen über theoretische Physik, 1, Wiesbaden 1949; S. TIMOSHENKO y D. H. YOUNG, Advanced Dynamics, Nueva York 1948. La teoría de r. en Mecánica cuántica se encuentra claramente expuesta en: E. P. WIGNER, Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics ot Atomic Spectra, Nueva York 1959; M. HAMERMESH, Group Theory, Reading (Mass.) 1962; A. MESSIAH, Mecánica cuántica, Madrid 1965. Los aspectos de r. en la teoría cuántica de campos puede encontrarse en: S. S. SCHWEBER, An lntroduction to Relativistic Quantum Field Theory, Nueva York 1961.