Ondas FÍS.

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Física

Cuando tiramos una piedra en el centro de un estanque, cuyas aguas están en reposo, vemos que se producen unas ondulaciones en la superficie, en forma de circunferencias concéntricas, con centro en el punto donde ha caído la piedra, que se van propagando hacia los bordes del estanque. Estas ondulaciones que se propagan en el agua son un caso muy particular de un fenómeno muy general que se conoce con el nombre de movimiento undulatorio, y las ondulaciones se conocen genéricamente como o. Si las o. son de pequeña amplitud y el movimiento es muy rápido se le llama a veces movimiento vibratorio.

1. Generalidades. Las o. tienen algunas características esenciales que vamos a indicar a continuación. Una de ellas es que en el movimiento ondulatorio no hay desplazamiento de materia, sino que las partículas materiales realizan movimientos de vaivén en torno a sus posiciones de equilibrio. Así, en el ejemplo del estanque, si hemos colocado unos corchos sobre el agua éstos no varían de posición, sino que sólo se mueven hacia arriba y hacia abajo.

Estos movimientos de vaivén en torno a sus posiciones de equilibrio pueden ser de características muy variables, pero siempre son tales que cuando ha transcurrido un cierto tiempo se reproducen exactamente. Este tiempo necesario para que se repita la misma configuración, se denomina periodo T de la o. y al movimiento se le denomina periódico. Al inverso del periodo, es decir, al número de veces que se repite la misma configuración por unidad de tiempo, le llamaremos frecuencia v (v= 11T). Más adelante nos será útil el concepto de frecuencia angular co, que es el producto de la frecuencia normal por 2a,

Un caso particularmente sencillo, pero de una gran importancia, es aquel en que el movimiento periódico es tal que la partícula material es atraída hacia la posición de equilibrio con una fuerza que es proporcional a la distancia que la separa de la citada posición. Si consideramos el eje X en la dirección del movimiento y elegimos el origen en el punto de equilibrio, dicha fuerza será F=-kx, siendo k una constante positiva denominada constante recuperadora. A este tipo de movimiento se le conoce con el nombre de movimiento armónico.

El estudio de los movimientos ondulatorios en general es extremadamente complicado, pero queda muy simplificado gracias al teorema de Fourier, que nos afirma que cualquier movimiento periódico de periodo T puede considerarse como la superposición de movimientos armónicos de periodos T, T/2, T/3,...

Mediante este teorema, podremos reducir el estudio del movimiento periódico general al estudio de un conjunto de movimientos armónicos, por lo cual, de ahora en adelante nos restringiremos al estudio de aquellos en que las partículas oscilan armónicamente en torno a sus posiciones de equilibrio. Para ello, previamente nos será necesario estudiar el movimiento armónico.

La ecuación de una partícula de masa m sometida a una fuerza de tipo armónico según el eje X es:

m ~t) =-kx dt2 cuyas soluciones son de la forma x(t)=a-sen(Y m t+~p

siendo a y p unas constantes arbitrarias que aparecen al integrar la ecuación, y que deben fijarse dadas las condiciones iniciales del problema. Así, si elegimos el origen de tiempos de forma que en t=o la partícula esté en el origen, tenemos que la fase

De las definiciones de periodo y frecuencia dadas anteriormente, vemos que en el movimiento armónico se satisface que la frecuencia está relacionada con la costante recuperadora k mediante la relación

1 Yk v=- , 27r m

es decir,

,~ Im

T=27r V kk y la frecuencia angular será

-Ym

Con ello, la posición de la partícula en un instante vendrá dada por la expresión

x(t)=a sen (mt+(p)

donde elegiremos, en general,

Finalmente, otra característica esencial de las o. es la propagación de los movimientos armónicos a los otros puntos del medio. Si en un punto provocamos por el procedimiento que sea, un movimiento armónico, éste se transmite a las partículas materiales más próximas y así sucesivamente. Si al cabo de un intervalo de tiempo At el movimiento ha llegado a las partículas situadas a una distancia r del foco del movimiento, definiremos como velocidad de propagación de la o. u, al cociente r/Ot. Esta velocidad depende de las propiedades elásticas del medio y, en general, es independiente de la frecuencia de la o. Al producto de la velocidad de propagación por el periodo se le designa por x y se le llama longitud de onda del movimiento ondulatorio

a=uT.

El significado físico de la longitud de o. es que corresponde a la distancia que separa dos puntos consecutivos que presentan el mismo estado de movimiento (igual elongación e igual velocidad de desplazamiento respecto a la posición de reposo).

La velocidad de propagación de las o. depende del medio material en que se propagan. En algunos medios no depende de la dirección de propagación y en otros es distinta según cuál sea dicha dirección; a los primeros se les llama isótropos y a los otros anisótropos, respecto de la velocidad. Los gases y líquidos son siempre isótropos, mientras que los cristales suelen presentar anisotropías.

Hasta aquí hemos tratado el movimiento ondulatorio en general, pero hemos supuesto que las oscilaciones que se producían en un punto y se propagaban a los demás eran oscilaciones materiales, es decir, oscilaciones de la posición de una partícula. Ello nos ha ayudado a introducir el concepto de movimiento ondulatorio, pero no es esencial. La característica general de los movimientos undulatorios es que hay algo que varía periódicamente con el tiempo, que puede ser la posición de una partícula, un campo eléctrico, la presión en un fluido, etc. Vamos a proceder ahora a estudiar las distintas clases de movimientos ondulatorios, según cual sea la naturaleza de la oscilación.

2. Clases y ejemplos de movimientos ondulatorios. En primer lugar encontramos las o. que exigen para su propagación la presencia de un medio material. Podemos subdividir este tipo de o. en dos clases: transversales y longitudinales. Las o. transversales son aquellas en que las oscilaciones tienen lugar en una dirección perpendicular a la* de propagación de la o., propagándose el movimiento a las partículas inmediatas a causa de las fuerzas de razonamiento o cohesión. Ejemplo de este tipo de o. es el de una cuerda, uno de cuyos extremos es obligado a moverse perpendicularmente a su longitud; el movimiento producido se transmite a toda la cuerda y cada punto oscila normalmente a la posición original de la cuerda. Evidentemente, si las fuerzas de razonamiento son pequeñas, el movimiento es incapaz de propagarse, lo cual nos explica el hecho de que en los fluidos, donde dichas fuerzas son despreciables en general, no se presenten o. transversales.

Las o. longitudinales se caracterizan porque las oscilaciones de las partículas tienen lugar en la dirección de propagación del movimiento, propagándose éste a causa de los impulsos que la partícula que oscila transmite a las que la rodean. Ejemplos de ellas son, entre otros, las o. sonoras (v. ACÚSTICA). Imaginemos un balón lleno de gas que es sometido a cambios bruscos de presión; sus paredes realizan unos movimientos oscilantes según la dirección radial con lo cual las moléculas de aire que rodean el balón son sometidas a compresiones y depresiones sucesivas viéndose obligadas a oscilar radialmente, oscilación que transmiten a las moléculas contenidas en el estrato esférico siguiente de forma que las oscilaciones radiales se van propagando a todo el espacio según o. longitudinales, que si llegan al oído humano, éste entra en oscilación dándonos la sensación de sonido. El oído humano es sensible a o.. cuyas frecuencias estén comprendidas entre 16 y 20.000 ciclos/seg. Si la frecuencia es mayor que 20.000 ciclos/seg., la o. recibe el nombre de ultrasonido.

Entre las o. que se propagan independientemente de la existencia de un medio material, merecen una especial importancia las electromagnéticas que consisten en la propagación de un campo eléctrico y un campo magnético (v. CAMPOS, TEORÍA DE) perpendiculares entre sí, cuyo módulo (intensidad) oscila periódicamente, manteniéndose normal a la dirección de propagación (o. transversal). Se propagan en el vacío a una velocidad c de unos 300.000 Km/seg., y sus longitudes de o. varían entre márgenes muy amplios, recibiendo distintos nombres según cual sea ésta. Así, llamamos o. hertzianas a aquellas cuya longitud de o. está comprendida entre 104 y 10-3 m.; las de longitud larga son, p. ej., las o. de radio, y las cortas las de radar. Entre los 10-4 y 10-7 m. se encuentra el llamado espectro óptico (infrarrojo, visible y ultravioleta). Si la longitud de o. está comprendida entre 10-8 y 10-11 m. las o. electromagnéticas se suelen llamar rayos X, y si es aún menor, rayos gamma.

Finalmente mencionaremos las o. gravitacionales, cuya existencia afirma la teoría de la Relatividad (v.) general, y que no han sido detectadas aun cuando hay algunas experiencias en curso para poner en evidencia su existencia. También en la Mecánica cuántica (v.) (v. t. MECÁNICA ONDULATORIA) aparecen otros tipos de o., llamadas o. de materia que nos dan cuenta de las propiedades undulatorias de las partículas.

3. Ecuación del movimiento ondulatorio. Estudiados ya los diversos tipos de o., así como sus características más importantes, nos interesa encontrar un método que nos permita, conocido el movimiento ondulatorio en un punto y en un instante dado, poderlo conocer en otros puntos y en instantes posteriores. Como es usual en Física, el movimiento vendrá dado mediante una función de la posición y del tiempo que es la solución de una ecuación diferencial que se denomina ecuación de o.

La deducción de esta ecuación escapa de los límites de este artículo por lo cual nos restringiremos a indicar su forma y sus soluciones. Si llamamos A(x, y, z, t) a la magnitud que sufre las oscilaciones, ya sea la posición de una partícula o un campo, la ecuación que nos determina A en el espacio y en el tiempo es

a2A azA azA 1 azA ax2 + & 2 + ay2 - u2 ate siendo u la velocidad de propagación. Ésta es la forma más general de la ecuación de o. Las soluciones de esta ecuación diferencial que corresponden a nuestros problemas físicos son funciones de la forma (elegimos la fase nula),

t r

A(r, t)= a sen 27r--l

( Txl

siendo

r= (x2+y2+z2)1/2.

De esta expresión se deduce que en un punto dado, al cabo de un tiempo T se reproduce el movimiento, así como que dos puntos separados por una distancia X presentan el mismo estado de oscilación.

Como hemos indicado anteriormente, en los movimientos ondulatorios no hay transporte de materia. Sin embargo, para mantener la oscilación debe consumirse una cierta energía que proporciona el foco emisor y que se transmite en el espacio junto con la oscilación. Se denomina intensidad del movimiento ondulatorio en un punto a la cantidad de energía que por unidad de tiempo atraviesa la unidad de superficie colocada en dicho punto perpendicularmente a la dirección de propagación. Si tetemos un foco emisor puntual la intensidad del movimiento ondulatorio en cada punto decrece como el inverso del cuadro de la distancia al foco, como se deduce inmediatamente de la ley de conservación de la energía. De hecho el decrecimiento es algo más rápido, pues los medios materiales presentan una cierta resistencia a la propagación -de las o., resistencia que se representa, en cada medio y para cada o., mediante un coeficiente de absorción.

4. Superposición de ondas. Podemos preguntarnos ahora qué es lo que sucede cuando a un punto llegan a la vez dos o más movimientos ondulatorios de la misma naturaleza, p. ej., dos o. sonoras. La respuesta es que dicho punto oscilará según la suma de los dos (o más) movimientos que lo solicitan.

Si lo que oséila es una magnitud escalar (la presión en las ondas sonoras) la oscilación será la suma algebraica y si es una magnitud vectorial, será la suma vectorial (v. VECTORES). Este hecho es una manifestación de un principio más general en Física que se conoce como Principio de superposición y que se satisface siempre que la ecuación que nos describe el fenómeno (en este caso la ecuación de o.) es una ecuación lineal en la incógnita.

Consecuencia de lo expuesto hasta aquí y del principio de superposición es el principio de Huygens, que ha tenido gran importancia históricamente en la comprensión de los fenómenos ondulatorios: si tenemos un foco emisor, las oscilaciones producidas por él son transmitidas a los puntos de su entorno; estos puntos a su vez pueden ser considerados como nuevos focos emisores, que transmiten la oscilación a los de su entorno, y así sucesivamente. De esta forma, todos los puntos están sometidos a un conjunto de oscilaciones, y el efecto total es que todas las o. presentan una envolvente común, formada por puntos que en un instante presentan la misma oscilación, envolvente que se propaga con la velocidad de propagación de la ’o., y que se denomina frente de o. o superficie de o.

La importancia del principio de Huygens queda patente en el fenómeno de la difracción (v.), que es totalmente inexplicable si se considera la propagación de las o. como una propagación rectilínea, es decir, por rayos. Otros fenómenos, como la reflexión (v.) y la refracción (v.) que son explicables mediante la teoría de la propagación por rayos, son también explicables mediante el citado principio.

Cuando un punto es sometido a dos oscilaciones en general, aunque las dos o. individuales sean sencillas, la o. resultante será muy complicada. Sin embargo, existen algunos casos, particulares pero de gran importancia, en que la o. resultante es también sencilla. Uno de ellos se presenta cuando las dos o. tienen igual frecuencia; la o. resultante tiene la misma frecuencia y presenta unos puntos en que las dos oscilaciones se suman y otros en que se contrarrestan de forma que en ellos no existen oscilaciones. Tal fenómeno recibe el nombre de interferencia (v.) Otro caso de especial interés es aquel en que las frecuencias de las dos o. son parecidas, pero no iguales; la o. resultante presenta una frecuencia igual a la semisuma de las frecuencias, pero las amplitudes varían de unos puntos a otros, variaciones que presentan una frecuencia muy pequeña, igual a la semidiferencia de frecuencias. Tal fenómeno se conoce con el nombre de pulsación. En el caso particular de las o. sonoras, una tal o. pulsante es aquella que tiene una frecuencia intermedia entre las de las componentes, pero que su intensidad presenta altos y bajos con una frecuencia relativamente pequeña.

Ondas estacionarias. Imaginemos ahora lo que sucede cuando una o. de la forma

A(x, t)=a sen 2Tr(vt-x/k)

llega a un obstáculo perpendicular a la dirección de propagación (que elegimos como eje x) y es reflejada por él (v. REFLEXIÓN). La o. reflejada se propaga en dirección inversa y su amplitud será

A(x, t)= -a sen 2a(vt+x/X)

Entonces en un punto cualquiera, la o. resultante, en virtud del principio de superposición será la suma de las dos que, operando, puede escribirse

A(x, t)=-2a cos (27rvt) sen (27rx/x).

En esta expresión vemos que, para todo t existen unos puntos, aquellos cuya abscisa x es tal que

sen (27rx/X)=0,

que no presentan ninguna oscilación; tales puntos se llaman nodos. Por el contrario, aquellos puntos en que sen (27rx/a) valga 1 realizarán oscilaciones de máxima amplitud, y se les denomina vientres.. Es fácil ver que entre cada dos nodos hay un vientre y viceversa; entre dos nodos sucesivos, cada punto oscila sinusoidalmente, pero la configuración del movimiento (la posición de los vientres y los nodos) permanece fija en el espacio, recibiendo el nombre de o. estacionaria.

Vamos a considerar las o. estacionarias que pueden presentarse en un sistema confinado dentro de unos ciertos límites. Para mayor sencillez, consideramos un caso un¡dimensional, p. ej., el movimiento de un cuerda. Sea una cuerda de longitud L cuyos extremos se mantienen fijos; si en ella producimos una o., se reflejará en ambos extremos. Podemos plantearnos en qué condiciones podrá establecerse una o. sinusoidad en la cuerda, es decir, una o. que, una vez establecida, su configuración se mantenga. Para ello será condición necesaria que los extremos de la cuerda, x=0 y x=L corresponden a los nodos de la o., es decir,

sen (27rL/A)=0,

lo cual implica

27rL/a=n7r,

o sea,

L=na/2,

con n=0, 1, 2,... Vemos, pues, que para que se establezca una o. estacionaria en la cuerda, la longitud de o. tiene que tomar los valores 2L/n a los que corresponden unas frecuencias nu/2L; a estas frecuencias tales que pueden dar lugar a una o. estacionaria, se les llama frecuencias naturales o propias del sistema considerado, y son de una gran importancia en el estudio de las o. que se establecen en un medio limitado, ya que se satisface que todo movimiento ondulatorio que pueda tener lugar en dicho medio puede considerarse como una superposición de las distintas ondas estacionarias, cada una contribuyendo con unas amplitudes y fases determinadas. La importancia de este teorema estriba en que el estudio de las o. estacionarias en el sistema es de una gran sencillez, mientras que el de una o. general que se produzca en él, puede ser muy complicado.

V. t.: DIFRACCIóN;INTERFERENCIAS;REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN.

R. PASCUAL DE SANS.

BIBL.: F. S. CRAWFORD, Berkeley physics course, III, Barcelona 1971; J. CABRERA Y FELIPE, Introducción a la Física teórica, I, Zaragoza 1966; WINSTON KOCK, Sound waves and light waves, Nueva York 1965; LORD RAYLEIGH, The theory of sound, Nueva YorY 1945.