Mecánica IV. Mecánica Cuántica FÍS.

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Física

Teoría física que permite la explicación de todos los fenómenos físicos conocidos hasta la fecha, incluyendo aquellos en los que intervienen acciones (productos de trabajo por tiempo) menores que, o del orden de, una constante universal (llamada constante de Planck, h=6,625x10-z7 erg -seg)en los cuales falla la M. clásica. Cuando las accionescaracterísticas del sistema son mucho mayores que h, la M. cuántica se reduce a la M. clásica

1. Resumen histórico. Precedentes. La M. cuántica nació, en su forma más primitiva, el 14 dic. 1900, cuando Max Planck (v.) pronunció su famosa conferencia ante el Physikalische Gesellschaft de Berlín, que fue publicada más tarde con el título Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum (Teoría de la ley de distribución de la energía en el espectro normal). En este trabajo Planck logró interpretar la distribución de radiación (v.) de un cuerpo negro, a base de suponer que las emisiones y absorciones de energía siempre tenían lugar en cantidades discretas o cuantos (v.) de energía hv, donde v es la frecuencia de la radiación y h la constante de Planck ya mencionada. Para frecuencias muy bajas, hv ---> 0y la fórmula obtenida por Planck se reducía a la clásica de Rayleigh-Jeans; pero para frecuencias altas, el carácter discreto de los cuantos es esencial, y la ley de Planck es completamente distinta de la clásica, y está en pleno acuerdo con los datos experimentales. Con la hipótesis de Planck, aparecía la discontinuidad en la explicación de la Naturaleza y se desmentía la máxima latina Natura non facit saltus. En general, la hipótesis de Planck no fue bien recibida entre los físicos; fue considerada, incluso por su propio autor, como una buena hipótesis de trabajo que debía más adelante ser explicada e integrada por la teoría clásica. A finales del s. XIX, antes de que Planck expusiera esta hipótesis, la teoría de la radiación de Maxwell-Lorentz, que consideraba la radiación electromagnética como ondas, era plenamente aceptada por los físicos, quienes habían desechado, guiados por las evidencias experimentales, la antigua teoría corpuscular de la luz (v.). Sin embargo, la hipótesis de Planck, que consideraba la luz compuesta de cuantos discretos, resucitaba esta teoría

Nuevas experiencias, principalmente el efecto fotoeléctrico (v. FOTOELECTRICIDAD), iban a confirmar este carácter corpuscular. En 1905, A. Einstein aplicó la hipótesis de Planck de la existencia de cuantos de luz o fotones (v.) de energía hv, a la interpretación de los hechos experimentales sobre el efecto fotoeléctrico (emisión de electrones por un metal, al ser sometido éste a la luz), obteniendo un acuerdo completo entre teoría y experiencia. Más adelante, en 1924, el efecto Compton (v.) refutaba una vez más la teoría ondulatoria y confirmaba la teoría corpuscular, así como la validez de la hipótesis de Planck. Una nueva aplicación de una hipótesis parecida a la de Planck condujo a Niels Bohr en 1913 a un modelo atómico (v. ÁTOMO) que, en contradicción con el modelo de Rutherford, era estable. En sucesivos trabajos aparecidos en 1913-15 en "The Philosophycal Magazine" (v. bibl.), introdujo los estados estacionarios de los electrones del átomo, así como las frecuencias de radiación cuando un electrón pasa de un estado estacionario a otro. Con estas hipótesis logró una interpretación simple de las principales leyes que rigen los espectros (v.) de líneas de los elementos. La teoría de Bohr fue completada y aplicada a espectros más complicados por P. Debye y A. Sommerfeld, quien introdujo la hipótesis de la existencia de órbitas elípticas, y realizó el cálculo de las correcciones relativistas de la energía, debidas a la velocidad de los electrones

Nacimiento de la Mecánica cuántica. La situación existente entonces era anómala; se poseía una Física clásica, considerada casi perfecta, en la cual había tres fenómenos (radiación del cuerpo negro, efecto fotoeléctrico y estabilidad de los átomos) que debían ser explicados con una hipótesis de discontinuidad totalmente extraña a ella. Esta situación duró hasta enero de 1924 en que apareció un trabajo de Bohr, Kramers y Slater en "The Philosophycal Magazine", realizado en Copenhague y que fue básico en las discusiones entre los físicos interesados en la teoría de la radiación, las probabilidades de transición y la conservación de la energía. En él aparece por primera vez el concepto de probabilidad y otros conceptos estadísticos, pero no en el sentido clásico de la M. estadística (v. II), en que se usan probabilidades a causa de la imposibilidad de conocer los detalles de los procesos elementales, sino en un sentido nuevo, que contiene toda la realidad física que se puede conocer. Las siguientes contribuciones, encaminadas a obtener una explicación seria y racional de todos los hechos experimentales dentro de una teoría coherente, se debieron principalmente a M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, N. Bohr, P. A. Dirac y E. Schródinger, junto con otros muchos físicos que colaboraron en Gotinga y Copenhague. Puede decirse que hacia fines de 1925 estaban ya establecidas las bases de la M. cuántica, y en 1926 se acabó de desarrollar

Pueden señalarse en el desarrollo de la M. cuántica como doctrina coherente, dos líneas distintas: la de Schródinger, o M. ondulatoria (v.) y la de Heisenberg, o M. de matrices, basada en una teoría más positivista. Heisenberg analizó el concepto de observable, desechando el de órbita electrónica utilizado por Bohr, ya que no era algo observable, y en su teoría sólo aparecen las magnitudes observables. Ambas teorías permitían una interpretación consistente de los hechos experimentales, y en 1927 P. Jordan, O. Klein y E. Wigner demostraron por vez primera su equivalencia. Un nuevo formalismo, más sencillo quizá que los anteriores y que los sintetiza, fue desarrollado por Dirac y Jordan, basándose en la teoría de transformaciones (v.). Este nuevo formalismo fue expresado de una manera racional en el libro de Dirac (1930) Elementary Principles of Quantum Mechanics (v. bibl.), que, aunque fue criticado por algunos, contenía una excelente presentación de la M. cuántica, aún hoy de gran utilidad para todo físico. La crítica más dura a este libro recayó sobre su aspecto matemático y fue debida a von Neumann, quien en sus Fundamentos matemáticos de la Mecánica cuántica (v. bibl.) se propuso demostrar que "es posible fundamentar la teoría de las transformaciones de manera tan clara y armónica como en el método de Dirac y, además, de modo matemáticamente irreprochable"

La prueba crucial de la M. cuántica tuvo lugar en 1927 en la Solvay Conference de Bruselas. Allí, la nueva teoría fue sometida a una fuerte crítica, especialmente por parte de Einstein, y se patentizó que no tenía contradicciones internas y que conducía a resultados correctos. Así, pues, hacia finales de los años veinte la nueva teoría cuántica estaba ya firmemente establecida, a pesar de lo cual su interpretación era aún muy oscura; estaba bien establecido el uso de la teoría, y sus predicciones permitían una buena interpretación de los fenómenos atómicos, pero los diversos autores no se ponían de acuerdo con la interpretación que debía darse a algunos aspectos de ella. Más adelante expondremos brevemente las diversas interpretaciones y críticas

Mucho más moderna que el desarrollo de la M. cuántica de Schródinger y de Heisenberg es la formulación de R. P. Feynman. Este autor, en 1948, publicó en "Rev. of Modern Physics" (v. bibl.) una nueva formulación,totalmente equivalente a las anteriores, aunque posee peculiaridades interesantes y un mayor paralelismo con la formulación de la M. clásica. En esta formulación se asocia una amplitud de probabilidad, no a la posición de la partícula en un instante dado, como en las anteriores (v. más adelante), sino a su trayectoria

Ulterior desarrollo. La teoría cuántica, que quedó establecida en 1930, no tardó en presentar algunas dificultades y limitaciones. Una de ellas es que, de las posibles soluciones de la ecuación de Schródinger (v. más adelante), cuando se estudia un sistema de partículas indistinguibles, sólo aquellas que tuvieran unas ciertas simetrías bajo las permutaciones de las partículas, eran físicamente aceptables; sólo de esta forma se podía introducir en la teoría el principio de exclusión de Pauli (v. ÁTOMO). Otra de las modificaciones a que tuvo que ser sometida es la hipótesis del spin (v. ELECTRÓN). En 1924 Pauli, estudiando el efecto Zeeman (v.), sugirió que el electrón debía tener un carácter bivaluado; en 1925 G. E. Uhlenbeck y S. A. Goudsmit (v. bibl.) recogieron esta sugerencia e hicieron la hipótesis de que el electrón poseía un momento angular intrínseco o spin, de valorh/2, (h=h/27r),al que estaba asociado un momento magnético. A continuación, Pauli elaboró el formalismo matemático del spin mediante la teoría de los spinores, con lo cual la M. cuántica quedaba prácticamente completada

Sin embargo, existía aún otra grave dificultad en el intento de comparar la teoría y los datos experimentales de los fenómenos atómicos. En estos fenómenos, los efectos relativistas, debido a ser la velocidad de las partículas próxima y la de la luz c(c=2,998 x 101° cm/seg)son importantes y medibles, mientras que la teoría elaborada era totalmente no relativista. Ello condujo a la necesidad de generalizar la teoría, buscando una nueva ecuación invariante relativista y que en la aproximación clásica(v/c -> 0)se redujera a la ecuación de Schródinger. Tal extensión había sido ya propuesta por Schródinger desde un principio, y entonces fue reformulada por varios autores, principalmente por Klein y Gordon, de quienes dicha ecuación tomó el nombre con que es conocida actualmente

La ecuación de Klein-Gordon presentó en seguida algunas dificultades; en ella, la probabilidad de presencia de la partícula en un punto determinado no es definida positiva y, además, contiene una derivada segunda respecto al Tiempo. Estas dos dificultades fueron consideradas por Dirac como suficientes para la no validez de la ecuación, pero actualmente es aceptada, con una conveniente interpretación, para describir las partículas libres de spin cero

La no aceptación por Dirac de la ecuación de KleinGordon, condujo a aquél a la búsqueda de una ecuación invariante relativista, que generalizara la de Schródinger y que contuviera derivadas primeras con respecto al tiempo en forma lineal. La ecuación que halló con estos requisitos es la conocida como ecuación de Dirac, que describe las partículas libres de spin 1/2. La ecuación poseía soluciones de cuatro componentes que formaban un spinor, y se reducía a la ecuación de Pauli para partículas de spin 1/2 en el límite clásico. Además, fue aplicada al estudio de los átomos hidrogenoides, presentando un acuerdo perfecto con la experiencia. La única dificultad radicaba en que, junto con las soluciones físicas de energía positiva, presentaba soluciones de energía negativa, carentes de sentido físico. El mismo Dirac fue quien salvó la situación así planteada mediante la teoría de los agujeros, que predecía la existencia de una partícula, de igual masa que el electrón pero de carga positiva, y que de momento se consideró que era el protón, atribuyendo la gran diferencia de masa con este último a las interacciones electromagnéticas; sin embargo, esta manera de explicar la gran diferencia de masas era incompatible con la estabilidad del átomo, con lo cual la teoría de Dirac quedó incomprobada hasta el descubrimiento del positrón por Anderson (v. PARTÍCULAS ELEMENTALES)

De esta forma puede decirse que se completó la teoría cuántica para sistemas de una sola partícula, pero aún se estaba muy lejos de poseer una teoría cuántica relativista que fuese consistente. En efecto, si la velocidad de las partículas es muy elevada, su energía es muy grande y en la interacción de unas partículas con otras existe la energía suficiente para que se puedan crear nuevas partículas, de manera que su número deja de ser constante y aparecen fenómenos de aniquilación y creación de partículas. A fin de explicar estas realidades, los físicos se vieron obligados a introducir un formalismo capaz de describir fenómenos de creación y destrucción, conocido como la segunda cuantificación. El primer intento en esta dirección fue debido a Dirac, quien presentó una teoría sobre emisión y absorción de radiaciones, en la que se introducían unos operadores de creación y destrucción de fotones. A pesar de la elegancia de la teoría, contenía algunas hipótesis no justificables, y una teoría más completa fue propuesta en 1929 por Heisen y Pauli; las dificultades que estos autores encontraron respecto a la invariancia gauge de la teoría, fueron subsanadas por Fermi al imponer de manera adecuada la condición de Lorentz. Más adelante, Dirac, Fock y Podolsky (v. bibl.) modificaron la teoría de forma que fuese invariante relativista. La segunda cuantificación se estableció cuando se observó que las reglas de conmutación supuestas para los operadores de creación y destrucción sólo eran válidas para describir partículas de spin entero, y que para partículas de spin semientero se debía recurrir a reglas de anticonmutación (cfr. S. S. Schweber, o. c. en bibl.)

Nuevas dificultades surgieron al aplicar el formalismo indicado a la electrodinámica cuántica, ya que empezó a encontrarse que en el cálculo perturbativo que se utilizaba, aparecían resultados divergentes. Algunas de estas divergencias, las denominadas de infrarrojo fueron pronto eliminadas, pero las de ultravioleta, o serias, no fueron atacadas de manera adecuada hasta 1947, en que Bethe propuso un método con el que lograba explicar los resultados experimentales del efecto Lamb. Posteriormente, se ha reelaborado la teoría de forma que en la actualidad el formalismo de la segunda cuantificación ha permitido desarrollar una electrodinámica cuántica que explica todos los hechos experimentales existentes. Los mismos métodos de segunda cuantificación con soluciones de tipo perturbativo son, en principio, aplicables a cualquier teoría de las partículas del microcosmos; en particular, a las interacciones nucleares o fuertes y a las interacciones débiles, causantes de la desintegración beta de los núcleos (v. RADIACTIVIDAD). En estas últimas, debido a su extrema debilidad (son mucho menos intensas que las electromagnéticas), el cálculo perturbativo en primer orden, en el cual aún no aparecen divergencias, permite explicar los datos experimentales existentes. Sin embargo, al igual que en la electrodinámica, existen dificultades importantes, agravadas aquí porque la teoría de las interacciones débiles de Fermi no es renormalizable

Las dificultades son mucho más graves en el caso de las interacciones nucleares, en las cuales, debido a su gran intensidad, el desarrollo perturbativo no converge, con lo cual no se pueden obtener resultados ni siquiera aproximados. Esto ha llevado a pensar en otras maneras de atacar el problema, abandonando el formalismo lagrangiano utilizado. Una de ellas es el método de las relaciones de dispersión, extensión de los trabajos de Kronig y Kramers de 1926 sobre las relaciones entre las partes real e imaginaria del índice de refracción. No podemos describir aquí con más detalle estos intentos ni los que se han realizado y se realizan desde hace dos décadas. Ninguno de los métodos propuestos es plenamente satisfactorio, y, aunque se van obteniendo algunos resultados, parece que aún se está lejos del entendimiento total de las interacciones fuertes, así como de los problemas de fondo planteados por las interacciones débiles y las electromagnéticas. Antes de terminar esta exposición histórica, debemos mencionar los intentos que algunos físicos realizan, desde 1955, de elaborar una teoría axiomática, a partir de unos postulados muy generales, como son la invariancia Lorentz, etc. Estos métodos tienen la ventaja de ser extremadamente potentes, pero actualmente aún están lejos de obtener resultados físicos de interés

2. Esquema básico de la Mecánica cuántica. Introducción. Hemos visto que la incapacidad de la Física clásica para explicar los hechos experimentales de los sistemas atómicos de una manera consistente condujo al nacimiento de la M. cuántica, cuyos principios generales y básicos vamos a esbozar en líneas generales. La exposición que realizaremos a continuación difiere mucho de la que tuvo la M. cuántica en sus orígenes. Con el tiempo se han ido elaborando los conceptos y refinando la teoría, de forma que la exposición que hacemos es, en líneas generales, una simplificación de cómo se concibe modernamente la M. cuántica. La ventaja esencial es una mayor belleza formal, así como una mayor facilidad de comprensión frente a los trabajos originales de los años veinte (cfr. P. A. M. Dirac o L. D. Landau y E. M. Lifshitz o A. Messiah, o. c. en bibl.)

En la Física clásica se supone, en general, que las operaciones de medida sobre un sistema dejan a éste inalterado. Cuando se mide una longitud, la regla y el objeto a medir interaccionan (p. ej., debido a sus masas existe una fuerza atractiva gravitacional entre ellos), pero suponemos que tal interacción no afecta al resultado de la medida. Para medir un campo eléctrico podemos utilizar una pequeña carga de prueba, pero, o bien despreciamós el campo creado por ella frente al valor del campo a medir o, si queremos ser más exactos, calculamos dicho campo, y al expresar el resultado de la medida, hacemos la corrección debida a la perturbación producida por la carga de prueba. En resumen, en la Física clásica, o despreciamos la perturbación provocada por el aparato de medida, o la podemos calcular exactamente, al menos en principio, aun cuando el cálculo sea a veces tan complicado que exija hacer alguna aproximación

Lo anterior ya no es cierto en los sistemas microscópicos, en los cuales la exactitud de las medidas tiene un límite inherente a la naturaleza misma de las cosas, que no puede ser superado por ninguna mejora de tipo técnico

Así, p. ej., imaginemos la observación más sencilla: mirar un objeto; para ello es necesario iluminarlo, es decir, bombardearlo con un haz de cuantos de luz o fotones, con lo cual éstos trasmiten un cierto impulso al cuerpo, impulso que para los cuerpos macroscópicos es totalmente despreciable, pero que puede ser importante para los sistemas atómicos. Sabemos también que cuanto mayor poder de resolución (v. MICROSCOPíA) deseamos en nuestra observación, debemos utilizar mayor impulso o momento lineal. Así, para una observación muy precisa, se necesitan fotones de gran momento, que al chocar contra el cuerpo observado lo pueden perturbar sustancialmente, tanto más cuanto menor sea su tamaño; si esta perturbación es calculable o medible, nos hallamos dentro del esquema clásico, y podemos corregir nuestra observación, pero de lo contrario nos hallamos ante una imposibilidad de observar los cuerpos de manera precisa e independiente de los aparatos de medida

Así, p. ej., veamos que es imposible "ver" que un átomo (v.) de hidrógeno está formado por un núcleo pesado (protón) y un electrón situado a una distancia de 0,53 X 10-8 cm. Para ello, sería necesario iluminar el átomo con luz de una longitud de onda de 10-8 cm., a la que corresponde una frecuencia (v. ONDAS)cv= X =3x 10’8 seg-1es decir, se necesitan fotones de energía E=hv=12,4x 103 eV, valor mucho mayor que la energía necesaria para ionizar el átomo (separar el electrón del protón), con lo cual, un choque de un fotón con el átomo ya destruiría a éste completamente

Resumiendo, podemos decir que si las perturbaciones que producimos al medir el cuerpo son despreciables o calculables, podremos aplicar las leyes clásicas, tal como suele suceder en los sistemas macroscópicos. De lo contrario el sistema deja de obedecer a dichas leyes y se rige por la M. cuántica, en la que se supone que al medir perturbamos el sistema de una manera no predecible. Cuando esta perturbación tiende a cero, la M. cuántica debe reducirse a la clásica

Formulación matemática. Basándonos en los hechos expuestos, debemos ahora elaborar una teoría consistente, en la cual es evidente que deberán jugar un papel importante las operaciones de observación, ya que ellas afectan de manera esencial a los sistemas. A estas operaciones les exigimos que satisfagan las dos propiedades siguientes:a) A cada tipo de observación (de la energía, de la posición, etc.) le corresponde un conjunto de números reales que son los posibles resultados de ella, de manera que todo resultado de una medida debe ser un número de este conjunto. A este conjunto de números se le denomina espectro, y puede ser un conjunto continuo o discreto

b) Supongamos que realizamos dos observaciones sobre un sistema, que denotaremos por A y B; llamemos AB a la observación resultante de practicar primero B y después A, y sea BA la operación inversa. Como hemos visto que toda observación perturba el estado del sistema, es muy posible que los resultados obtenidos al medir AB y BA sean distintos, es decir, que el resultado dependadel orden en que se hagan las medidas, lo que podremos expresar porAB ~,-- BA

Es lógico que el valor de la diferencia AB-BA estará relacionado con la magnitud de las perturbaciones que se producen en el sistema al medir, ya que dicha diferencia debe ser nula en el límite clásico. Esto nos lleva a suponer que dicha diferencia será proporcional a la constante de Planck h

El paso siguiente que debemos dar encaminado a elaborar una teoría físico-matemática es representar estas operaciones de observación mediante unos entes matemáticos. El hecho de queAB ,z- BAexcluye la posibilidad de que estos entes sean números o funciones, pero permitiría que fuesen operadores. En la M. cuántica se asocia a cada operación de observación un operador autoadjunto de un espacio de Hilbert (v. más adelante), con lo cual automáticamente se satisfacen las propiedades a y b. A estos operadores correspondientes a cada operación de observación se les denomina observables, y los designaremos por la misma letra que caracteriza a la operación de observación

De la misma forma, debemos representar los estados físicos por algún otro ente matemático, y así como las operaciones de observación se realizan sobre los estados físicos, es lógico que éstos vengan representados por los entes sobre los que actúan los operadores, es decir, por vectores (v.) del mismo espacio de Hilbert, o bien por las proyecciones de estos vectores en una cierta base del espacio, proyecciones que se denominan funciones de onda

El espacio de Hilbert que hemos mencionado más arriba es un cierto espacio vectorial (v. ESPACIOS MATEMÁTICOS vii), en el cual cada operador autoadjunto A tiene asociados un conjunto de números reales an y un conjunto de vectores u? soluciones de la ecuaciónAun=a,,unllamada ecuación de valores propios, en la cual n puede tomar valores sobre un conjunto discreto o continuo. Los números a? se llaman valores propios o autovalores, y los vectores u? se llaman vectores propios o autovectores del operador A. Toda la M. cuántica está formulada en estos espacios

En lo sucesivo, las letras mayúsculas representarán operadores, y las minúsculas números o funciones numéricas

Postulados. Establecida de esta forma la correspondencia entre observaciones y operadores y entre estados físicos y vectores o funciones de onda, debemos formular unos postulados que relacionen la realidad física con el esquema matemático. Dichos postulados son:1) Cuando realizamos una observación A sobre un sistema, los únicos valores que podemos obtener como resultado de ella son los autovalores de A

2) Si realizamos una observación A en un estado físico al que corresponde un vector u? que es propio de A, el resultado de la medida será, con toda certeza, el autovalor an correspondiente al vector u?

3) Si tenemos un conjunto de estados físicos idénticos, a cada uno de los cuales corresponde un vector 0, y medimos en cada uno de ellos el observable A, el valor medio de todas las medidas es un valor á que viene expresado por la fórmula

r O+Atp dr a=f O+t

donde 0+ es el vector hermítico conjugado de 0, dr es el elemento de volumen, y las integrales se extienden a todo el intervalo de variación de las variables. (El vector hermítico conjugado de q, es el resultante de trasponer 0 y de tomar los complejos conjugados de sus componentes)

Vemos que el postulado 3 es una generalización del 2, y de hecho lo contiene como un caso particular, con lo cual podríamos omitirlo; no obstante, lo incluimos a fin de resaltar su importancia. Al medir un observable en un estado que es propio de él, obtenemos siempre, con toda certeza, un cierto resultado: el valor propio correspondiente. Sin embargo, al medirlo en un estado que no es propio del operador, Po podemos predecir el resultado de cada medida individual, sino que sólo podemos predecir el valor medio de todas las medidas ci o bien la probabilidad de hallar cada uno de los posibles valores a?, que viene expresada porP(a,,)=~ f dr Un’ qj12En el tercer postulado hemos introducido el concepto de probabilidad y de valores medios. Ya hemos recalcado anteriormente que esta probabilidad es esencialmente distinta de la utilizada en M. estadística, donde los sistemas individuales se supone que obedecen a leyes determinadas y precisas, pero que, a causa de su gran número, se introduce en cálculo de probabilidades. En M. cuántica introducimos las probabilidades para estudiar fenómenos que no sabemos si obedecen o no a leyes deterministas

El problema del determinismo o no determinismo de la Física es muy complejo, quizá de tipo más filosófico que físico; de hecho, encontramos entre los físicos opiniones contrarias. Partidarios del indeterminismo son Heisenberg, Dirac, Eddington y otros, mientras que entre los que no lo aceptan se cuentan nombres tan destacados como Planck, Einstein, Langevin, etc. Así, Heisenberg afirma que "suponer que detrás del universo estadístico se esconde otro universo verdadero para el cual valdría el principio de causalidad, es una experiencia estéril y sin sentido" (Uber den anschanlichen..., v. bibl.); y también dice: "subordinar una acción a una causa determinada no tiene sentido más que si podemos observar las acciones y las causas sin perturbar su evolución". Por el contrario, Planck, después de exponer las relaciones de incertidumbre de Heisenberg (v. más adelante), dice que dichas relaciones "no pueden alterar el principio de causalidad, sino sólo poner en duda las suposiciones de que se ha partido..., es decir, la supuesta estructura de la imagen que nos hacemos del mundo" (cfr. o. c. en bibl.)

Los tres postulados que hemos establecido suministran la base interpretativa de la M. cuántica, pero junto a ellos necesitamos algunos otros principios de carácter más físico, tales como el principio de correspondencia y el de complementaridad. El principio de correspondencia fue enunciado por Bohr y está en la base de todos los trabajos que condujeron al nacimiento de la M. cuántica; surgió del afán de construir la nueva M. como una generalización de las teorías clásicas, afán lógico, ya que dichas teorías permitían la interpretación de los hechos experimentales macroscópicos, con lo cual la M. cuántica debe edificarse paralelamente a la clásica, de forma que en todo momento, al despreciar las perturbaciones producidas sobre los sistemas (h -> 0), podamos recuperar los resultados clásicos. El enunciado del principio dice que las relaciones fundamentales entre las variables físicas de la M. clásica deben ser satisfechas por los correspondientes operadores que representan a dichas variables en la M. cuántica. Otra manera equivalente de enunciarlo es decir que la teoría cuántica debe aproximarse a la clásica en el límite de los grandes números cuánticos

Consideremos ahora el principio de complementaridad. Como ya hemos indicado, en un nivel microscópico, al medir en un sistema, producimos en él una perturbación, con lo cual ya no podemos, como en Física clásica, hacer una estricta separación entre el fenómeno natural y el instrumento con que lo observamos. En consecuencia, los datos experimentales obtenidos bajo condiciones experimentales distintas no tienen por qué poder ser representados mediante una misma imagen del fenómeno. De esta forma, vemos, pues, explicado el hecho de que la luz se comporte unas veces como una onda (experiencias de interferencias, difracción, cte.) y otras como una partícula (efecto Compton, efecto fotoeléctrico, etc.), ya que al someterla a condiciones experimentales distintas no tiene por qué existir una cierta imagen (onda o corpúsculo) que nos explique todos los hechos. En consecuencia, la descripción completa de un fenómeno microscópico se compone de elementos distintos que se complementan y que son definidos por dispositivos experimentales incompatibles. Así, la posición X de una partícula y su momento lineal(p=mv)forman un par de estos elementos complementarios: la medición precisa de la posición y el momento requiere dispositivos experimentales que se excluyen, en el sentido de que no pueden medirse con una precisión mayor de un cierto valor que viene dado por la relación de incertidumbre de Heisenberg: el producto de la incertidumbre en la posición por la incertidumbre en el momento no puede ser menor que Ih/2a; es decir:

hAX-Ap_> . 2-,r

Una manera equivalente de enunciar esto en términos cuantitativos es decir que los operadores posición X de componentes XI, X2, X3, y momento P de componentes P,, P2, P3, no conmutan, sino que satisfacen las relaciones [Xk, Pil -XkPj-P¡Xk=ih8kj con k, j=1, 2, 3,donde i es la unidad imaginaria, y Ski es el símbolo de Kronecker, que vale 8k¡=1 si k=¡y8kj=1 si k,7’-jAhora sólo nos falta indicar cuáles son estos operadores abstractos que representan las operaciones de observación

Construiremos estos operadores apoyándonos en la forma que tienen clásicamente las variables que representan, en función de la posición y el momento y, aplicando el principio de correspondencia, sustituiremos la posición y el momento por los correspondientes operadores cuánticos. ¿Cuáles son los operadores que representan la posición y el momento? La única condición que deben satisfacer es la relación de conmutación IXk, Pil =ih8k¡;es fácil comprobar que entre las posibles elecciones que podemos realizar hay dos extremadamente sencillas; una es elegir como Xi la función coordenada xi y como Pi el operador derivada-iño/()xi ;la otra es elegir como P; la función pi y como Xi el operadorLa primera elección se denomina representación de coordenadas o de Schródinger, y la segunda, representación de momentos. Ambas son completamente equivalentes, y la elección de una u otra depende de cada problema particular. El paso de una representación a otra se realiza mediante la transformación de Fourier (v. ANÁLISIS III)

Desarrollo. Con estos postulados y principios hemos establecido la base de la M. cuántica y podemos iniciar el desarrollo de la teoría, y sus aplicaciones a los distintos fenómenos microscópicos. Así, p. ej., la ecuación de Schródinger no es más que la ecuación de autovalores del operador energía. En efecto, clásicamente, la energía de una partícula de masa m sometida a unas fuerzas que derivan de un potencial V(r) es

E= P z+V(r)2m

siendo p el momento lineal. Entonces, de acuerdo con el principio de correspondencia, el operador energía, o hamiltoniano, será

H= P z+ V(R)2m

que en la representación de coordenadas será (sustituimos R por r y P por-ihY):hz-pz+ V(r) 2mEntonces la ecuación de valores propios de este operador serár,z- pz+V(r)]UE(r)=EUE(r) 2mque es la ecuación de Schródinger. Mediante la resolución de esta ecuación, obtendremos la función de ondas de una partícula de energía bien definida E (estado estacionario) sometida a un potencial V(r). Esta función de ondas nos describe el estado del sistema. Veamos cuál es su interpretación física. Supongamos que tenemos una partícula descrita por una función de ondas u(r). Sihacemos una medida de la posición de esta partícula, no sabemos qué resultado obtendremos, pero si hacemos muchas medidas sabemos que el valor medio obtenido es f u+(r)Ru(r) drr=fu+(r)u(r) d7 y en representación de coordenadas f u+(r)ru(r) drf rlu(r)1z drr=f u+(r)u(r) d7-f 1 u(r) 12 drNotemos que la ecuación de autovalores que determina u(r) la determina a menos de una constante multiplicativa arbitraria, constante llamada de normalización, que podemos siempre elegir de forma quef 1 u(r) 12 dr=1con lo cual podemos prescindir siempre del denominador de las expresiones anteriores, a condición de sustituir u(r) por una nueva u(r) que difiera de la otra en la citada constante. En consecuencia, supondremos siempre que ya hemos elegido la función de ondas convenientemente normalizada. De esta forma, el valor medio de la posición esr= fr!u(r)I2 dr expresión que indica queIu(r)I2es el "peso" estadístico correspondiente al valor r en el cálculo del valor medio. Con ello, en una medida única, la probabilidad de encontrar un cierto valor ro es1 u (ro) 12,es decir, la interpretación de la función de ondas en la representación de coordenadas está relacionada con la densidad de probabilidad de posición de la partícula en el espacio. La probabilidad de que esté dentro de un volumen V seráf, 1u(r)IZdry la probabilidad de que esté en cualquier punto f 1u(r)12drdebe ser 1, ya que corresponde a la certeza, y lo es realmente a causa de la normalización impuesta. Consecuencia de esta interpretación de la función de ondas es que no toda solución de la ecuación de autovalores va a ser aceptable como función de ondas de un sistema físico, sino que le debemos imponer la condición de ser finita en todo el espacio

Procesos de medida. Analicemos ahora, siguiendo los postulados anteriores, los procesos de medida. Imaginemos que tenemos unos estados, cada uno de los cuales está descrito por una función de ondas "r), y en ellos medimos el observable A de autovalores a? y autofunciones uri(r). Al realizar una medida, perturbamos el estado "r) y obtenemos un cierto autovalor ak, es decir, aquel autovalor que obtendríamos con toda certeza si la función "r) fuese la uk(r). Aunque esto no nos permite decir cómo será la perturbación sufrida por 0(r), una posibilidad que aceptaremos es que por efecto de la medición el estado pase de ser descrito por "r) a serlo por la uk(r) correspondiente al autovalor ak obtenidoResumiendo, diremos que cuando medimos A en un estado representado por "r) caben dos posibilidades: a) Si "r) es una de las autofunciones de A, la u?(r), p. ej., obtenemos siempre, con toda certeza, el autovalor a., y el estado del sistema no varía en el proceso de medida. b) Si "r) no es función propia de A, obtenemos, al hacer muchas medidas en sistemas idénticos, un conjunto de autovalores ak, cada uno de ellos, según dijimos, con probabilidad2(’J dr ak+(r"(r),y el estado del sistema se altera quedando descrito por la uk(r) correspondiente

Aclaremos esto con un ejemplo clásico. Sea un haz de fotones polarizados (v. POLARIZACIÓN) rectilíneamente en una dirección caracterizada por un vector unitario n, cada uno de los cuales está descrito por una función de ondas "r). Consideremos la observación de la polarización mediante un prisma de Nicol (observable A). Existen dos direcciones de polarización de los fotones que corresponden a resultados bien definidos de la observación: la dirección paralela a A, que trasmite siempre el fotón y la perpendicular a A que lo intercepta siempre; los fotones polarizados en estas dos direcciones podemos decir que estarán descritos por las funciones propias de A. Si la dirección n coincide con la dirección del Nicol, con seguridad sabemos que todos los fotones son trasmitidos sin alterarse su polarización. Este resultado clásico es el análogo al que obtenemos en el caso en que "r) sea función propia de A: encontramos siempre un mismo valor y el estado del sistema no varía

Si, por el contrario, n no coincide con la orientación del Nicol, entonces el fotón puede pasar o no, con una probabilidad que depende del ángulo que forman las dos direcciones; esto es lo equivalente a que la función de ondas tP (r) no es propia de A, y el resultado es incierto. En este caso, sólo podemos hablar de la probabilidad de que un fotón pase o no (que es igual al seno o coseno al cuadrado del ángulo formado por las direcciones), y si un fotón pasa, su estado de polarización se altera y queda polarizado en la dirección del Nicol; esto es lo equivalente a que "r) pasa a ser una de las funciones propias de A. Llegados a este punto, hemos dejado establecidas las bases de la M. cuántica y deberíamos iniciar su desarrollo y su aplicación a los diversos problemas del mundo microscópico. Cabe tan sólo preguntarnos en qué tipo de problemas se debe aplicar la M. cuántica y en cuáles la clásica. Hasta ahora hemos dicho que la primera debía aplicarse a los procesos microscópicos, pero esto no es absolutamente cierto. P. ej., hay fenómenos macroscópicos, tales como la superfluidez del helio a muy bajas temperaturas, o los fenómenos de superconductividad, que sólo pueden explicarse en el marco de la M. cuántica. En cambio, hay otros de tipo microscópico, tales como muchos de los fenómenos referentes al movimiento de electrones, que pueden explicarse con la M. clásica

El límite exacto de separación entre las dos M. está en si es posible o no despreciar la constante de Planck h. Si se puede despreciar, podemos aplicar la M. clásica, yde lo contrario, hemos de acudir a la cuántica. Sabemos que h tiene las dimensiones de "trabajo X tiempo", es decir, de una acción: ML2T-1; si las acciones envueltas en el problema que estudiemos son mucho mayores que 10-27 erg.seg (que es el orden de magnitud de h), podemos despreciar h, pero no podemos en el caso contrario. Así, p. ej., en el caso del estudio de los átomos, sabemos que el radio atómico es del orden de 10-8 cm. y que el momento del electrón en su órbita es del orden de10-19 g.cm.seg ’, con lo cual la acción (radio X momento) es del orden de 10-27 erg.seg, valor del orden de h, con lo cual no podemos despreciar h y debemos aplicar la M. cuántica. En cambio, el mismo electrón, en muchos problemas de electrónica, está envuelto en distancias del orden de 10-2 cm., y se le aplican diferencias de potencial del orden de unas decenas de voltios, con lo cual adquiere un momento del orden de 10-21 g.cm.seg-1, y la acción será de unos 10-23 erg.seg, valor mucho mayor que h, por lo que podemos despreciarla y utilizar un tratamiento clásico

Una exposición más amplia de las aplicaciones de la M. cuántica y un desarrollo más completo de la teoría no son posibles en los límites de este artículo. Las aplicaciones de la M. cuántica están actualmente extendidas a todo el campo de la Física y de la Química: Física atómica y nuclear, Física de partículas elementales, Física estadística, Electrónica, Física del estado sólido, etc. Para un estudio más completo de estas aplicaciones se debe acudir a los tratados especializados, algunos de los cuales citamos en la bibliografía (cfr. obras de L. D. Landau y E. M. Lifshitz, P. A. M. Dirac y A. Messiah)

3. Críticas de la Mecánica cuántica. Vamos a esbozar brevemente las principales críticas de que la M. cuántica ha sido objeto. Las primeras fueron las de los físicos que no quisieron sacrificar el bello edificio de la Física clásica de finales del s. xix ni renunciar a los conceptos de realidad física entonces vigentes. Así, encontramos que físicos de gran talla como Einstein, Von Laue y el mismo Schródinger, uno de los pioneros de la M. cuántica, no aceptaron la nueva teoría como algo convincente ni concluyente. Más adelante, otros no han aceptado la interpretación "ortodoxa o de Copenhague" de la M. cuántica, es decir, la interpretación de Bohr, Born, Heisenberg, cte., y han planteado nuevas propuestas. Podemos, siguiendo a Heisenberg (cfr. Niels Bohr and..., en bibl.), agrupar a los oponentes a la interpretación de Copenhague en tres grupos, todos ellos con un punto común: intentan volver al concepto de la realidad física que caracteriza a la Física clásica. Vamos a examinar con algún detalle los puntos de vista de mayor interés

En el primer grupo podemos situar a Alexandrow, Bohm (en su primera etapa), De Broglie, Blochinzew, Bopp, cte.; este grupo se caracteriza por una total aceptación de la interpretación de los experimentos que da el grupo de Copenhague, pero no acepta el lenguaje utilizado, es decir, la filosofía de la Teoría, y la sustituye por otra. Así, p. ej., David Bohm logra explicar los hechos experimentales sin necesidad de abandonar la descripción precisa, racional y objetiva de los sistemas individuales. Considera que la naturaleza estadística de nuestras medidas se debe al desconocimiento de la historia previa del sistema y a las propiedades del aparato de medida, pero no a la esencia del sistema; la descripción total del sistema se realizaría según Bohm con la introducción de unas nuevas variables llamadas "ocultas". En cuanto que los resultados de su formulación no pueden ser refutados por la experiencia (lo cual es un hecho general en los autores de este grupo) podríamos decir que se trata de una repetición de la interpretación de Copenhague expresada en lenguaje diferente. De esta forma, el punto de vista de Bohm es tan aceptable como el de Copenhague; sin embargo, presenta algunas dificultades que la hacen menos elegante, como es, p. ej., la destrucción de la simetría entre las variables conjugadas posición y momento

Los trabajos de Blochinzew y Alexandrow son completamente distintos, y sus objeciones se restringen al punto de vista filosófico. Estos autores aceptan sin reservas la interpretación de Copenhague desde el punto de vista físico y plantean el problema puramente filosófico. Así, Blochinzew dice en la introducción de uno de sus trabajos: "Entre las distintas tendencias idealistas de la Física contemporánea, la llamada escuela de Copenhague es la más reaccionaria. El presente artículo se dedica a desenmascarar las especulaciones idealistas y agnósticas de esta escuela en los problemas básicos de la Mecánica cuántica". El punto común de partida de ambos autores es la exclusión del observador en la interpretación de la teoría cuántica; como dice Alexandrow: "Debemos entender por ’resultado de una medida’ sólo el efecto objetivo de la interacción del electrón con un objeto. La mención del observador debe evitarse"

El segundo grupo de oponentes a la interpretación ortodoxa tiene como representante más característico a Janossy, y quizá también encajan dentro de este grupo los recientes trabajos de Bohm. Se caracterizan por su intento de modificar la teoría cuántica obteniendo otra que conduzca a los mismos resultados en muchos casos, pero no en todos, y siempre sin tener que abandonar la idea clásica de realidad física. El punto de ataque de Janossy es la llamada "reducción de los paquetes de onda"; afirma que la reducción no puede deducirse de la ecuación de Schródinger y que, por tanto, hay una inconsistencia en la interpretación ortodoxa. La teoría que propone tiene algunos aspectos interesantes, pero conduce a consecuencias desagradables como son la existencia de ondas que se propagan a mayor velocidad que la luz, distinción de ciertos sistemas coordenados, etc., consecuencias que hacen que la teoría no sea aceptable en principio, a no ser que las evidencias experimentales muestren su interés

El trabajo de Bohm citado anteriormente (D. Bohm y J. Bub, o. c. en bibl.) es una teoría de variables ocultas mucho mejor elaborada que su primitiva teoría. Con su construcción, Bohm demuestra de nuevo la falsedad de un teorema de von Neumann que negaba la posibilidad de existencia de variables ocultas en la M. cuántica y, además, propone algunos hechos experimentales a fin de poder discernir entre su teoría y la M. cuántica usual. Consideramos que es todavía pronto para decidir si la teoría de variables ocultas será o no útil. Mientras la una como la otra expliquen los hechos experimentales, tan buena es una como otra, y si un día tenemos hechos experimentales que puedan explicarse con una pero no con la otra, será entonces cuando habremos de decidirnos por una de ellas

Finalmente, los autores del tercer grupo de oponentes se caracterizan por una insatisfacción por la teoría cuántica, pero no presentan propuestas definidas ni desde el punto de vista físico ni desde el filosófico. En estas posturas encontramos a Einstein, von Laue, Schródinger y más recientemente a Renninger

V. t.: CUANTOS; FísICA II y III; FOTóN; INVESTIGACIóN 111; Luz I; MECÁNICA III; PARTÍCULAS ELEMENTALES

R. PASCUAL DE SANS

BIBL.: N. BOHR, "The Philosophycal Magazine", 26, 27, 29, 30; N. BOHR, H. A. KRAMERS y J. C. SLATER, The quantum theory of radiation, "The Philosophycal Magazine", 47 (1924) 785; P. A. M. DIRAC, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford 1958; 1. vox NEUMANN, Fundamentos matemáticos de la Mecánica cuántica, Madrid 1949; R. P. FEYNMAN, "Rev. of Modern Physics, 20 (1948) 367; íD, Quantum Mechanics and Fath Integrals, Nueva York 1965; G. E. UHLENBECK y S. A. GOUDSMIT, "Naturwis", 13 (1925) 953 y "Nature", 117 (1926) 264; P. A. M. DIRAC, V. A. FoCK y B. PODOLSKY, "Physikalische Z.eitschrift", 2, cuaderno 6, 1932; S. S. SCHWEBER, An introduction to relativistic quantum fields, Nueva York 1962 (uno de los tratados más completos sobre el tema); L. D. LANDAU y E. M. LIFSHITZ, Mecánica cuántica, Barcelona 1968; A. MESSIAH, Mécanique cuantique, París 1962; W. HEISENBERG, Uber den anschanlichen Inhalt der quanten Theoristhen Kinematik una Mechanck, "Zeit für Physck" (1927); M. PLANCK, Wege Zur physikalischen Erkenntniss, Leipzig 1933, 246; W. HEISENBERG, Niels Bohr and the development of Physics, Oxford 1962; D. BoHM y J. BUB, A proposed solution of the measurement problem in Quantum Mechanics by a hidden variable Theory, "Rev. of Modern Physics", 38 (1966) 453