Materiales I. Resistencia de Materiales. FÍS.

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Física

1. Generalidades. Es la disciplina que estudia la resistencia mecánica ofrecida por los diversos m. con vistas a sus aplicaciones; especial atención merecen m. tales como la piedra, la madera, el hormigón, los metales y otros destinados a la construcción, a los efectos de tracción, compresión, flexión y torsión

Debido a todos los esfuezos a que se puede someter un m., para poder conocer su resistencia y por tanto su aptitud para la construcción, la r. de m. trata de determinar, tanto teórica como experimentalmente, las tensiones que se originan en el seno de un cuerpo al aplicarle un sistema de fuerzas exteriores, y valorar el límite que han de tener dichas tensiones para que el m. las tolere sin que la estructura en la que interviene se arruine

Las causas por las que una pieza o estructura queda fuera de servicio son:Fatiga, cuando el m. pasa de ser dúctil a frágil por la acción de una fuerza de tracción aplicada durante cierto tiempo

Cansancio, si el m. pierde fuerza de cohesión entre sus partículas, debido a la aplicación continua de una fuerza durante un largo periodo de tiempo. El hormigón ofrece el más típico ejemplo en este aspecto

Deformaciones excesivas, que se tienen en cuenta de acuerdo con el destino del m. Una estructura puede resistir bien, pero excesivas deformaciones dentro de sus piezas podrían hacerla inservible

Pandeo, efecto que ocurre en las piezas que por haber estado sometidas a compresión no recuperan su posición original cuando se retiran las cargas perturbadoras y, por tanto, se encuentran en un nuevo estado de equilibrio, distinto del que tenían al principio. Es muy peligroso y obliga a limitar las cargas que en forma de compresión se pueden aplicar a las piezas

Formación de mecanismos, que tiene lugar cuando en una estructura se forma el número necesario de rótulas plásticas para que se derrumbe parcial o totalmente. Una rótula plástica es una sección cualquiera de las piezas que por un excesivo momento flector entra en plasticidad y, por tanto, los giros y los alargamientos aumentan sin necesidad de un aumento de las tensiones

Para evitar todas estas perturbaciones es necesario conocer las características mecánicas y resistivas de los m

2. Elasticidad y plasticidad. Los cuerpos están formados por partículas pequeñas o moléculas (v.), entre las cuales actúan fuerzas de atracción o repulsión y tienen la propiedad de oponerse a los cambios de forma del cuerpo cuando sobre él actúan fuerzas exteriores. Si se aplica a un cuerpo un sistema de fuerzas exteriores, sus partículas se desplazan y estos desplazamientos mutuos continúan hasta que se establece el equilibrio. El cuerpo en este momento se encuentra en estado de deformación. El sistema de fuerzas interiores o tensiones se calcula planteando las condiciones del equilibrio existente en un punto cualquiera del cuerpo. Así se obtiene la tensión normal o- y la tangencial T a un plano cualquiera que pase por el punto

Durante la deformación, las fuerzas exteriores actuantes realizan un trabajo que se acumula en forma de energía potencial o de deformación en el cuerpo. Un ejemplo sencillo es la energía acumulada en un muelle cuando sobre él actúa una carga. Si las fuerzas exteriores causantes de la deformación del cuerpo disminuyen gradualmente, éste puede recuperar total o parcialmente su forma primitiva y durante este proceso la energía acumulada se recupera también en forma de trabajo exterior. La propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma primitiva se denomina elasticidad (v.). Si un cuerpo queda con deformaciones permanentes se dice que posee plasticidad

Experimentalmente se ha visto que m. tales como la madera, el acero, etc., pueden considerarse perfectamente’ elásticos por debajo de cierto límite, que es distinto para cada uno de ellos. Por encima de él aparecen deformaciones permanentes debidas a que el m. se encuentra en el periodo plástico. Rebasado este periodo sobreviene la rotura. Suponiendo que las fuerzas exteriores que actúan en una estructura son conocidas, es un problema fundamental para el proyectista dimensionar las partes de la estructura para que estén en condiciones perfectamente elásticas en todos los estados de carga. En la actualidad, y tras un conocimiento más perfecto del régimen plástico, se permite que en algunos casos y en ciertas partes de una estructura se trabaje en plasticidad, sin que por ello sobrevenga la ruina de la estructura

Ley de Hooke. En 1678 el inglés Robert Hooke enunció la ley que lleva su nombre, después de demostrarla experimentalmente, y que sirve de base aún a la moderna teoría de la r. de m. Dice así: "Dentro de ciertos límites, una barra sometida a tracción axial experimenta un alargamiento proporcional a la intensidad de la misma". Es decir,P-1~1 A.E ’donde P=fuerza total de tracción; 1=longitud de la barra; ol=alargamiento total de la barra; A=área de la sección recta de la barra; E=constante elástica del material, llamada módulo de elasticidad

El alargamiento de la barra es, pues, proporcional a la fuerza de tracción y a la longitud de la barra, e inversamente proporcional al área de la sección recta y al módulo de elasticidad

Prescindiendo de las porciones de la barra en las proximidades de la fuerza aplicada, puede asegurarse que durante la tracción todas las fibras longitudinales de la barra tienen el mismo alargamiento y sus secciones rectas, perpendiculares a su eje, quedan en las mismas condiciones después de la tracción. Esto es debido a que se supone que la intensidad de la tracción se reparte uniformemente en la sección recta, de forma que o--P/A, donde a- es la tensión que se genera en la barra y que normalmente se expresa en Kg/cmz

Llamando E al alargamiento unitario, es decir, 01E=1se puede relacionar cr con E por la expresión E=- ,Eque se representa en el diagrama de tracción del m. Este diagrama se obtiene aplicando una fuerza de tracción en aumento progresivo a una probeta de dimensiones determinadas, sacada del m. a ensayar. Las máquinas con que se hacen los ensayos dibujan el diagramaen el momento de hacer la tracción. El diagrama del acero (fig. 1) comienza con un periodo elástico en el que los alargamientos son proporcionales a las tensiones y en el que, por tanto, se cumple la ley de Hooke; este periodo termina en el límite elástico (O-E). Luego aparece el periodo plástico, en el que ya no existe dicha proporcionalidad, e incluso llega un momento en el que se produce un súbito alargamiento sin necesidad de aumentar la tensión; es el fenómeno de fluencia, que corresponde en el diagrama a un tramo horizontal de la curva. Si se sigue aumentando la carga, el m. recupera un poco su resistencia y se necesita aumentar las tensiones para obtener aumentos del alargamiento. Seguidamente decrece la resistencia y sobreviene la rotura

Como para el acero, se pueden construir diagramas de todos los m., siendo semejantes entre sí y dependiendo únicamente de las propiedades mecánicas de estos últimos. En el siguiente cuadro se indican las propiedades de algunos m.:Módulo E Límite CargaMATERIALES 2 elástico Ve de rotura Kg/cm Kg/cmz Kg/cmzAcero dulce ST 37 ... 2,1-106 2.500 4.300Acero dulce ST 52 ... 2,2-106 2.800 5.500Hormigón ..... ...2,8.105 - 210Madera de roble ... ...1,0-105180 7503. Solicitaciones en una pieza. Las fuerzas aplicadas en una pieza, más las reacciones en los apoyos o empotramientos, forman el sistema de fuerzas exteriores, que respecto a una sección cualquiera de la pieza pueden ser frontales o dorsales según su zona de localización

Las solicitaciones son el sistema dinámico equivalente a las fuerzas exteriores frontales en el centro de gravedad de una sección cualquiera de la pieza y tienen la propiedad de ser también equivalentes a las tensiones creadas en dicha sección; son cuatro (fig. 2): N, fuerza axil; Q, fuerza cortante; Mt, momento flector; Mt, momento torsor

Según las solicitaciones que intervengan en un estado cualquiera de deformación se tiene: compresión o tracción puras, si solamente hay fuerza axil; flexión pura, si actúa únicamente el momento flector; y torsión pura si es el momento torsor el único que actúa. En la flexión simple intervienen la fuerza cortante y el momento flector y hay casos de deformación en los que intervienen todas

El conocimiento de las cuatro solicitaciones en toda la pieza y la representación gráfica de sus leyes a escala posibilitan la determinación de la sección o secciones donde son máximas, para que, al tenerlas en cuenta, se pueda dimensionar la pieza con todas las garantías de resistencia. Normalmente se dibujan sólo las leyes de momentos flectores y la de fuerzas cortantes (fig. 3)

Tracción y compresión puras. Son los efectos de aplicar cargas axiles a una pieza recta en forma de tracción o de compresión (fig. 4a y 4b). El reparto de las tensiones en una sección normal cualquiera es uniforme en los dos casos y para que la pieza esté en equilibrio ha de cumplirse la equivalencia entre la solicitación y este reparto, es decir, a A =N (fig. 4c). El valor, del alargamiento o acortamiento unitarios que experimenta el m. esvE=w EEn el periodo elástico E es constante, pero fuera de él ya no lo es

Torsión. Una pieza prismática recta está sometida a torsión pura cuando se cumple que las únicas fuerzas exteriores que actúan sobre ella lo hacen sobre sus secciones extremas y equivalen a dos pares opuestos cuyo eje es paralelo a lo directriz de la pieza. Los pares son iguales a dos momentos torsores opuestos (fig. 5a). Las tensiones que se generan en una sección normal son tangenciales y están distribuidas a lo largo de curvas cerradas llamadas líneas de torsión (fig. 5b). Estas líneas son curvas de nivel cuya ecuación general (D(xy) tiene la propiedad de que:Cp 8"xy) c~ O

Sin embargo, la ecuación casi siempre es muy difícil de resolver, por lo que los problemas de torsión se solucionan siempre por analogía con otros de idéntico planteamiento e igual resultado, que representan fenómenos análogos al considerado, pero más conocidos físicamente. La analogía de la membrana se basa en los fenómenos membranales y la de Greenhill, en un campo potencial de velocidades de un líquido incompresible

Por efecto de la torsión la pieza sufre una deformación en la que las secciones giran un ángulo entre sí, a la vez que se acortan las distancias entre ellas y existe una relación directa entre el momento torsor y el giro: B’Rt=Mpsiendo Rr la rigidez torsional del m. y 9 el ángulo girado (fig. 5c)

Flexión. En una pieza prismática hay flexión pura cuando se la somete a la acción de dos pares de fuerzas en sus extremos, iguales, opuestas y perpendiculares a la directriz. Si en la pieza eliminamos la parte frontal respecto a la sección aa’ (fig. 6), para que haya equilibrio es necesario que las fuerzas generadas en dicha sección por la acción de la parte eliminada equivalgan a un momento Mf igual y opuesto al par que actúa en el extremo dorsal (fig. 6a). La única solicitación existente, por tanto, es el momento flector

Para el estudio de la flexión pura hay que admitir, además de la ley de Hooke, las hipótesis de Navier, que afirman que cuando una viga o pieza está en flexión pura, las secciones transversales se conservan planas después de la deformación y las que son normales a la directriz lo siguen siendo también (fig. 6b). De estas hipótesis se deduce que durante la flexión dos secciones contiguas, ad y bb’, giran una con respecto a la otra de forma que las fibras del lado convexo sufren tracción y las del lado cóncavo compresión. La línea nrí se llama eje neutro y está formado por las fibras cuya longitud no sufre variación durante la flexión debido a que en ellas la tensión es nula. Este eje pasa por el centro de gravedad de la sección en los casos de flexión pura. El alargamiento unitario en la parte traccionada (o el acortamiento en la comprimida) que sufre cualquier fibra situada a una distancia y del eje neutro es, por semejanza de triángulos:SJS y E= _nn’ rque indica que esta deformación en cada fibra es proporcional a la distancia al eje neutro e inversamente proporcional al radio de curvatura

Las tensiones, deducidas por la ley de Hooke, son rque tienen una distribución lineal, siendo negativas las de la parte comprimida y positivas las de la traccionada (fig. 6c)

Para que se cumpla el equilibrio interno, el reparto de tensiones ha de ser equivalente al momento flector de la sección, de forma que el momento en el eje neutro de todas las tensiones sea igual a MffE E E MI= J - y y dA= f- yz dA=-1 (1) r r rdonde1=fyzdArepresenta el momento de inercia de la sección recta con relación al eje neutro

De la fórmula (1) se deduce la curvatura 1 MIr IEque permite calcular las tensiones en cada sección de la pieza con sólo conocer la ley de momentos flectores y el momento de inercia:Mf_1 yComo una parte de la pieza está sometida a tracción y la otra a compresión, el signo de a depende del de y que tomaremos positivo hacia abajo y con origen en el eje neutro. Las tensiones máximas se presentan en las fibras más alejadas del eje neutro y para cualquier clase de sección que tenga su centro de gravedad a la mitad de su altura h valen:MfhMfh(Qmax)trac=il +(Umax)com=- 21 Normalmente en la construcción se presentan vigas prismáticas simétricas, por lo que, llamando a 2I/h=Z (momento resistente de la sección), las tensiones máximas serán:MIO_máx= Z ’En la práctica, para el dimensionamiento de los perfiles 1, U, etc., los diferentes valores de I y Z están tabulados en los manuales y catálogos de los altos hornos y acerías, simplificándose mucho el cálculo

La flexión simple se presenta cuando se somete una viga a cargas normales a su directriz (fig. 7a). El material sufre los efectos del momento flector y los de la fuerza cortante, generándose en cada sección tensiones normales y tangenciales

El cálculo de las tensiones normales se hace a partir de la ley de momentos flectores, lo mismo que en la flexión pura, e independientemente del de las tangenciales. r_stas se hallan planteando las condiciones de equilibrio de una rebanada infinitesimal de la viga, en la que el aumento de o- al pasar de su cara dorsal a la frontal es debido a dichas tensiones. El resultado que se obtiene es:tz tz QEndx QEn SI y bl .ydonde `i9 es la tensión tangencial correspondiente a una tz rebanada de espesor dx y a una altura y del eje neutro; En representa el momento estático de la superficie n; Q es la fuerza cortante que actúa en la rebanada y S=bdx es la superficie de un corte de la rebanada a la altura y (fig. 7b)

Los límites de las tensiones vienen determinados por la seguridad que se desee tener en las piezas, pero siempre se tiene en cuenta que en las secciones donde sean máximos los momentos flectores y las fuerzas cortantes no se formen rótulas plásticas. Además, según el criterio de Tresca, para que un punto de la viga esté dentro del campo elástico ha de cumplirse que0-2+4Z2 < o-~2,lo que impone un límite a los valores de o- y V

4. Deformaciones en vigas cargadas transversalmente. Al proyectar una pieza interesa conocer, además de las tensiones producidas por las cargas que la solicitan, las deformaciones que se producen y de forma especial la flecha máxima, ya que ésta ha de tener un límite para evitar deformaciones excesivas. La flecha es la desviación que sufren los puntos de la línea neutra a partir de su posición de equilibrio inicial (fig. 8)

Para conocer la curva que forma una viga y la ecuación diferencial que la representa ha de hacerse la suposición simplificadora de que la curvatura en cualquier punto deella sólo depende del momento flector. Por el estudio de la flexión pura sabemos que1 Mf r Ely por geometria_dZy1 do dx2ds 1 + (dx)213/2pero debido a la pequeña flecha que normalmente se alcanza en las vigas no muy largas, se simplifica la fórmula anterior al máximo quedando sólo el término de la segunda derivada de y. La ecuación diferencial de la curva, o elástica de la viga, será:_dZy _ _ Mf dx2 E IResolviendo la ecuación obtendremos la ley de flechas y=f [ f - M - dx dx+Ax+Bque representa las flechas que alcanzan las secciones de la viga y en la que A y B son constantes dependientes de la sustentación. La flecha máxima corresponde al momento flector máximo

5. Dimensionamiento de piezas. Proyectar una estructura para que resista unas determinadas cargas implica tener que dimensionar cada una de las piezas que la componen. Este dimensionamiento se hace de manera independiente, pero teniendo en cuenta las acciones que unas piezas reciben de las otras. Generalmente estas acciones mutuas son difíciles de conocer, por lo que es necesario emplear métodos especiales para su cálculo. El método de Cross, por un proceso reiterativo, calcula los momentos de reacción que hay en los distintos nudos de la estructura, a partir de los cuales se pueden obtener las leyes de momentos flectores y, a partir de éstas, las de fuerzas cortantes y las de flechas. Otra manera de hacer el dimensionamiento de piezas es por medio de programas para máquinas calculadoras, las cuales dan, para cualquier estado de carga, las distintas leyes y las secciones en que se pueden presentar las solicitaciones máximas, es decir, las de mayor peligro

La seguridad de una estructura requiere unos cálculos muy precisos, pero a pesar de ello, en la práctica, y para evitar en lo posible la ruina de las mismas, se emplean coeficientes de seguridad elevados

V. t.: ESTÁTICA; ELASTICIDAD (Física)

I. GARCÍA GARCÍA

BIBL.: A. ARANGOA, Resistencia de materiales, Madrid 1967; C. BENITO, Cálculo plástico de vigas y pórticos, Madrid 1966; C. BOLAR, Estática y resistencia de materiales, Barcelona 1966; M. IBÁÑEZ, Resistencia de materiales y estructuras, Madrid 1966; K. KNEIP, Mecánica y resistencia de materiales, Barcelona 1965; C. MÁximo, Resistencia de Materiales, Madrid 1965; M. OLIVES ALEMANY, Resistencia de materiales, México 1964; Prontuario de Altos Hornos de Vizcaya, Bilbao 1967; D. Ros CONESA, Apuntes de resistencia de materiales, Madrid 1967; F. B. SEELY, Resistencia de materiales, Madrid 1965; S. TIMOSxENKO, Resistencia de materiales, Madrid 1967; E. ToRRoJA, Elasticidad, Madrid 1967