Lógica Ii. Lógica Matemática.

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Matemáticas

También se llama Lógica simbólica y Logística; a veces, sencillamente, L. moderna, o incluso L. formal 0 cálculo lógico.

En realidad, la L. matemática no es esencialmente distinta de la L. formal de Aristóteles (v. 1, 3). Éste, para resaltar relaciones y prescindir de contenidos concretos, usaba variables; en vez de emplear una frase del tipo "Todo gato es carnívoro", Aristóteles utilizaba fórmulas como "Todo A es B"; describía las relaciones formales del silogismo (v.) con expresiones como "Si B pertenece a A y C pertenece a B, entonces C pertenece a A". La L. matemática simplemente intenta llevar más adelante el método simbólico de Aristóteles. No sólo simboliza sujetos y predicados, sino también las cópulas; además, se dedica primordialmente a la L. proposicional, parte de la L. que apenas se refleja en los manuales de L. tradicional y escolástica, excepto en la presentación de los llamados silogismos hipotéticos.

La L. matemática es, pues, la L. formal llevada a su último refinamiento; no es algo distinto en su esencia de la L. formal tradicional. Tiene la característica de hacer resaltar lo puramente formal y de presentar en un solo golpe de vista grupos enteros de frases. Su culminación es el establecimiento de los sistemas lógicos o sistemas deductivos (v. III).

l. Historia. Se ha considerado al mallorquín Raimundo Lulio (v.) como inventor de la L. matemática; en su L. algebraica los términos son representados por letras; Lulio se interesaba por la L. para construir la Teología. También se encuentran valiosos elementos de L. formal en Juan de Santo Tomás (v.). Wilhelm Gottfried Leibniz (v.) esbozó sistemas lógico-simbólicos, tanto intensivos, como extensivos. Leibniz en su carrera diplomática vio que la gente no se entendía por la oscuridad de sus explicaciones, por apasionamiento, etc.; concibió la idea de crear una lenguaje artificial al que se podría traducir nuestra ciencia. Con símbolos artificiales y, por tanto, neutros, se calcularía de modo mecánico y perfectamente seguro. Leibniz escribió diversos opúsculos lógicos que cayeron en el olvido; su meta diplomática era demasiado simplista, ya que suponía que nuestras posiciones pueden fácilmente reducirse a frases simples, a elementos atómicos.

En el s. XIX hubo un renacimiento de L. formal después de unos tres siglos en que se tiende a mezclar Psicología y Lógica (v. PSICOLOGISMO). George Boole (1815-64; v.) tuvo la intuición de que las leyes del pensamento son algebraicas (y, por tanto, absolutamente formales). Eso llevó a que a final de siglo Gottlob Frege (1848-1925), Giuseppe Peano (1858-1932) y el equipo Alfred North Whitehead (1861-1947; v.) y Bertrand RusselJ (v.) intentaran deducir la Matemática exclusivamente a partir de la Lógica.

La obra Principia Mathematica de Whitehead y Russell marcó ya en 1910 el. apogeo del desarrollo puramente formal de la L. matemática. Posteriormente, L. Wittgenstein (v.) introduce el análisis de proposiciones mediante las tablas veritativas; J. Lukasiewicz (1878-1956) formaliza una L. formal en la que la ley del tercero excluso no rige, al menos no de manera tradicional, ya que se supone que las proposiciones pueden ser verdaderas, falsas, o, además, indeterminadas; A. Tarski (1901-) y otros inician el estudio riguroso de la semántica o condiciones de significación y de verdad.

También son de primera importancia los teoremas lógicos que tratan no ya de principios concretos, sino de sistemas enteros de lógica (v. III). K. Gbdel (1906-) demuestra en 1931 que no hay posible método de decidibilidad para la Matemática, es decir, que no hay ni habrá nunca un modo mecánico de determinar la validez de las proposiciones matemáticas. Puesto que semejante método o técnica de decisión existe para la L., la prueba de Gódel rompe definitivamente el sueño de Russell, Frege y Boole de identificar L. y Filosofía (logicismo, v. 1, 5).

2. Símbolos proposicionales. Hay diversos sistemas equivalentes de L. proposicional. El que emplearemos en el presente trabajo por su gran facilidad tipográfica es el de Jan Lukasiewicz; también están ampliamente difundidos los símbolos de Peano y de Principia Mathematica:

Lenguaje normal Lukasiewicz Principia Hilbert

No N -., -

o uno o ambos A v v Si... entonces C

y K

si y sólo si E -~>

uno y, sólo uno J~>-no ambos D

n;, ni X

Omitimos otras variantes para evitar confusiones. Traduciendo el sistema de Lukasiewicz al lenguaje normal, "Np" significa "no p" o "no es verdad que p", donde "p" es una proposición. "Aqp" significa "p o q" donde "p" y "q" son proposiciones. Similarmente "Kpq" significa "p y q"; "Xpq" significa "ni p ni q". En todos estos ejemplos, "p" y "q" y las demás minúsculas que representan proposiciones se colocan detrás de los functores o conectores, tamo "K", "A".

Una variable proposicional como "p" es una proposición simple o atómica. Con los functores o conectores se producen proposiciones moleculares. "Apq" es una proposición molecular. Pero los argumentos de functores no tienen por qué ser atómicos; pueden ser moleculares; podemos escribir "CApgAqp", lo cual quiere decir: "Si p o q, entonces también q o p". La molécula proposicional citada no sólo está bien formada, es decir, que obedece a las reglas sintácticas lógicas, sino que cita un axioma (v.) importante, el principio de permutación. Antes de ser verdadera una proposición molecular debe, al menos, ser bien formada o correcta.

El functor "N" exige exactamente un argumento, es un functor monádico. Los demás functores mencionados hasta ahora exigen dos argumentos, son diádicos. Los argumentos se escriben después del functor en los símbolos polacos. Está bien formado "Np" y también "NXpq". La "N" recae sobre toda la fórmula que sigue inmediatamente. Está bien formulado "Apq" y también "ApCgr". En este ejemplo, "q" y "r" son argumentos de "C" mientras que "p" y "Cqr" son argumentos de "A". En tambo no estarían bien formulados ni "pN", ni "Npq", ni " pÁq", ni "Apgr", etc.

3. Tablas veritativas. Una manera de definir los símbolos de conectores proposicionales o functores proposicionales es mediante las tablas veritativas, es decir, unas tablas que expresan cuando son verdaderas o falsas las proposiciones complejas en conjuntos de proposiciones. En las tablas se expresa la relación puramente formal de simultaneidad o no-simultaneidad en cuanto a la verdad de las proposiciones. "Apq" quiere decir que Kp" es verdad; "q" es verdad; o ambas son verdaderas; excluye que ambas sean falsas. "Kpq" quiere decir que "p" y "q" son verdaderas a la vez y excluye que una o ambas sean falsas.

En el lenguaje normal "y" y "o" se asemejan bastante a los functores "K" y "A". En cambio, "si... entonces" normalmente da a entender alguna dependencia sustantiva y no meramente formal. Desde el punto de vista formal se suele decir que "Cpq" o "p implica q" o "si p entonces q" excluye que "p" pueda darse sin que se dé "q"; por tanto, "Cpq" es verdadera cuando son verdaderas tanto "p" como "q" o bien cuando "p" es falsa.

Un sistema lógico en que se considera que las proposiciones son exclusivamente verdaderas o falsas se llama bivalente. Hay cuatro posibles combinaciones matemáticas de valores veritativos de un functor bivalente cualquiera. Hay dieciséis posibles combinaciones de valores veritativos para definir functores bivalentes. Matemáticamente, el número de posibilidades veritativas y, por consiguiente, de renglones en una tabla veritativa, son la valencia de las proposiciones elevada al número de argumentos que tiene el functor en cuestión. El número total de functores de ese tipo equivale al número anterior elevado otra vez a la valencia de las proposiciones. En el caso de functores diálidos bivalentes, (2)(2)z. Los más conocidos de esos functores se definen en las tablas expuestas a continuación. "f" representa "falsa" y "v" "verdadera". Los "f" o "v" se colocan debajo del functor para representar la falsedad o verdad de la molécula, dada aquella combinación de valores veritativos atómicos:

N pA p qC p qK p q fv vvv vvv vvv vf vfv vfv ffv

v v ff v ff v f fff vff fff

E p qX p qD p qJ p q vvv fvv fvv fvv ffv ffv vfv vfv fvf fvf vvf vvf vff vff vfv fff

Los functores también pueden definirse unos con relación a otros. Concretamente; si "Y=Z" significa que Y es definido por Z, podemos definir todos los demás functores a partir de "X".

Np= Xpp Apq= NXpq Cpq= ANpq Kpq= CApgAqp Epq= KCpqCqp Dpq= NKpq Jpq= NEpq

Como todos los functores se definen semánticamente por relación a las tablas veritativas, no hay ninguna que sea más fundamental que otra. Se pueden definir todas a partir de "D" o de las parejas "N" y "A" y "C", etc.

Como dijimos más arriba, el cálculo proposicional incluye los silogismos hipotéticos. Los modos más importantes del silogismo hipotético son el modus ponendo

ponens y el modus tollendo tollens. Se representan respectivamente como "CKpCpgq", es decir, "Si p implica q y p es verdadera, q es verdadera"; y "CKNgCpqNp", es decir, si p implica q y q es falsa, entonces p es falsa.

Los sistemas de L. proposicional (v. II, s), igual que el resto de la L. matemática, se presentan en forma axiomática, hasta tal punto que los sistemas axiomáticos han sido desarrollados en primer lugar para la misma L. matemática.

4. Funciones. Hasta este momento hemos hablado de inferencias que hacen con proposiciones o juicios (v.) enteros, que son como el átomo o unidad básica del discurso. Esto ocurre, p. ej., cuando tenemos una disyunción entre proposiciones y sabemos que una es falsa, afirmamos la otra. Sin embargo, en la L. tradicional se dedica atención preferente a la silogística (v. SILOGISMO). En la silogística las inferencias giran en torno no a proposiciones sino a términos.

Los lógicos simbólicos suelen analizar las proposiciones de la siguiente manera. Si consideramos la proposición: "Sócrates es griego", vemos que consta de dos partes: un sujeto o argumento "Sócrates" al que se atribuye el ser griego, y el atributo o predicado "... es griego". En vez de puntos suspensivos podríamos escribir "x es griego" simplemente para marcar el hueco dejado al quitar el nombre propio "Sócrates"; "x es griego" es una función, "x" es una variable que puede reemplazarse por cualquier nombre propio, p. ej., Platón o julio César. "julio César" evidentemente no daría una proposición verdadera, pero si significativa. Se suele representar las funciones por "f", "g", "h" y las variables por "x", "z", etc. (V. t. FUNCIONES MATEMÁTICAS).

De nuevo nos encontramos con el concepto de proposición bien formada. Cada función exige determinado tipo de argumento para generar una proposición significativa. En nuestro caso, un nombre. Si insertamos "Napoleón", generamos una proposición correcta. En cambio, si insertamos una proposición, p. ej., "la tierra es esférica", como argumento, generamos un sinsentido.

5. Cuantificadores. Una de las figuras lógicas más sencillas y a la vez más importantes es el cuantificador. Las proposiciones desde el punto de vista lógico son universales, particulares y singulares. En cierta manera, las proposiciones singulares son asimilables a las universales ya que entra en juego en el aserto toda la extensión del sujeto. Podemos adoptar los functores "Ux" y "Px" para los cuantificadores universal y particular, respectivamente. Entonces "Ux" significa "para todo x" o sencillamente "siempre"; "Px" significa "para alguna x". "Uxfx" significa "el predicado f se atribuye a toda x" o "fx es siempre cierto". "Pxfx" significa "el predicado/ se atribuye a alguna x" o " fx es cierto alguna vez".

Las relaciones entre los dos cuantificadores son bastanté sencillas. Afirmar una universal es negar que la particular negativa correspondiente es verdadera; "Ufx" equivale a "NPxNfx". Similarmente afirmar una particular es negar que la universal negativa correspondiente es verdadera; "Pxfx" equivale a "NPxNfx". También negar una particular afirmativa equivale a afirmar la negativa universal correspondiente, y negar una universal equivale a afirmar la negativa particular correspondiente; en símbolos, "NPx" equivale a "UxNix", y "NUxfx" equivale a "PxNfx".

6. Clases. A partir de la noción de función se puede pasar a la de clase (conjunto o grupo), que no es radicalmente nueva como lo era la noción de función y argumento frente a la de proposición no-analizada. Una clase es el grupo de individuos que satisfacen una función.

Es decir, el grupo de individuos para los que la función en cuestión genera una proposición verdadera. La clase de los griegos es el grupo de individuos cuyos hombres se pueden insertar en "x es griego" para engendrar una proposición verdadera (v. t. CONJUNTOS, TEORÍA DE; y GRUPOS, TEORÍA DE).

Si pertenecer a una clase o conjunto se reduce a satisfacer alguna función, las demás relaciones entre clases también se pueden reducir a afirmaciones acerca de funciones. P. ej., "la clase A está contenida dentro de la clase B" equivale a "Si x es A, entonces x es B", o si se quiere "Todo x que es A, es B", lo cual es una proposición del tipo "UxCfxgx".

7. Relaciones. Las relaciones se consideran, al menos en Principia Mathematica, desde el punto de vista de clases de parejas (para hablar sólo de las relaciones más sencillas). También las relaciones se reducen a funciones. Consideremos la proposición "Bruto mató a Julio César"; se puede analizar en dos argumentos y una función; "Bruto", "Julio César" y "x mató a z". Las parejas ordenadas de asesino y asesinado constituyen una clase. En símbolos se representa una función diádica por una expresión como "Fxy" o si se desea subrayar su carácter de relación, por "xRy".

Hay distintos tipos de relaciones. Las relaciones pueden ser simétricas si la relación es reversible, es decir, si "ExRy" y "yRx". La relación es reflexiva si se la tiene respecto de sí mismo, es decir, si "xRx". La relación es transitiva si lo que tiene la relación a otro también la tiene a un tercero relacionado con ese otro; es decir, que "CKxRy yRx xRz".

"Hermano de" es una relación simétrica como también lo es "lejos". "Igual a" es una relación reflexiva. "Mayor que" es una relación transitiva. Además, "igual a" es transitiva y simétrica, pero "mayor que" es asimétrica y noreflexiva".

Caben relaciones triádicas como "x está entre z y w", o "x es hijo de z y w". Las relaciones de tres términos se dan con frecuencia en la Geometría.

8. Metalógica. El estudio de los sistemas axiomáticos (v.) se llama Metalógica. Si yo afirmo la proposición verdadera "ApNp", expreso un principio lógico que es la expresión simbólica de la ley del tercero excluso. En cambio, por escoger un ejemplo trivial, si hago la afirmación de que ese principio es verdadero, mi juicio es metalógico (v. GNOSEOLOGÍA).

Al tratar de sistemas axiomáticos se han enunciado diversos problemas metalógicos: se puede preguntar si el cálculo lógico es consistente, no-contradictorio; si es completo, es decir, si cubre todo el terreno deseado; si hay forma de decidir si una proposición cualquiera es verdadera o falsa (v. VERDAD). En la L. proposicional y en el cálculo elemental de funciones hay procedimientos decisorios; el primero es formal o sintáctico y se llama "de formas normales", el segundo es semántico y es el empleo de las tablas veritativas.

9. Semántica. Autores como Tarski y R. Carnap se dieron cuenta de que no basta estudiar sólo relaciones formales o sintácticas en L. También hace falta estudiar las relaciones de los signos a lo que representan o significan. Este estudio se llama Semántica (v.), y forma parte de la Semiótica (v.) o lógica de los símbolos, que se divide en sintaxis lógica, teoría de las relaciones de los símbolos entre sí; semántica lógica, teoría de las relaciones entre el símbolo y aquello que significa, es decir, estudio de las condiciones bajo las cuales los términos significan cosas y las condiciones bajo las cuales las proposiciones

son verdaderas; y pragmática lógica, teoría de las relaciones entre los símbolos, sus significaciones y los nombres que emplean.

También hay una semántica puramente empírica que investiga lo que las palabras y expresiones de lenguaje natural quieren decir de hecho. La semántica a que nos referimos aquí más bien discute cómo el lenguaje en abstracto ejerce su papel de significar (v. CONOCIMIENTO; ENTENDIMIENTO; LENGUAJE II; GNOSEOLOGÍA).

10. Implicaciones filosóficas. La L. m. fue desarrollada en gran parte por personas que mantenían una inexacta posición filosófica, la del positivismo (v.). Por esto muchos se han preguntado si se identifican L. matemática y positivismo, o L. matemática y nominalismo (v.). Una serie de estudios históricos de I. M. Bochenski, Schultz, los Kneale y Clark han mostrado lo contrario. Históricamente los medievales y los estoicos anticiparon los avances en L. proposicional y semiótica, que más tarde volvieron a descubrir los lógicos simbólicos. Pudieron emplear la L. formal en la expresión de su Metafísica y Teología.

Sin embargo, gran parte del trabajo reciente fue hecho por quienes mantenían erróneamente que la L. es la única actividad filosófica legítima (logicismo) y que toda cuestión acerca de la realidad debe enfocarse científicamente según los métodos de las ciencias de la naturaleza; ya que las proposiciones metafísicas y éticas dicen que no son ni siquiera significativas, es decir, informativas (v. NEOPOSITIVISTAS LÓGICOS; CARNAP; RUSSELL). Hay en estas afirmaciones los errores típicos del positivismo y del empirismo, que transforman un método en método único y universal, estrechan su campo de visión, y no consideran "científicamente" estudiables realidades tales como la libertad, el bien moral, etc. (V. t. CIENCIA VII, 2-3). Una distinción entre las proposiciones formales (lógicas y matemáticas), por una parte, y las empíricas (científicas e históricas), por otra, fue hecha ya por Hume (v.) con exclusión de cualquier proposición filosófica sustantiva. El prejuicio antimetafísico no es, por tanto, relacionado con la L. matemática sino con el empirismo (v.), que frecuentemente no tiene nada que ver con la L. matemática. Aunque neopositivistas como R. Carnap (v.) emplean frecuentemente lenguajes simbólicos artificiales, los neopositivistas ingleses, como A. J. Ayer (n. 1910) más bien analizan el lenguaje normal con sus confusiones y problemas (V. REALISMO; REALIDAD; VERDAD).

J. Maritain ha afirmado que la L. simbólica es una sustitución matemática del movimiento real del espíritu humano. Quizá la observación de Maritain es válida, pero no decisiva: la mente humana percibe las relaciones reales entre sus contenidos conceptuales; la L., en cambio, debe hablar de semejantes relaciones de manera puramente formal. Si afirmamos la proposición "si llueve, se mojan las calles" es porque realmente hay una dependencia entre los dos hechos, pero la única relación que interesa desde el punto de vista meramente lógico es la que se describe por la tabla veritativa de la implicación o condicional, el functor representado por "C", es decir, una relación escuetamente formal. Si es cierto que algunos lógicos son nominalistas, como Carnap y Wittgenstein, al menos en la época en que escribió el Tractatus LogicoPhilosophicus, es igualmente cierto que otros no lo son, como Frege y Alonzo Church.

Por último hay que repetir que la L. formal, sea o no simbólica, no resuelve todos los problemas lógicos. Concretamente la Semántica o teoría del significado, junto con la Gnoseología (v.) y Epistemología (v.), son necesarias además de la sintaxis o L. escuetamente formal.

LCSGICA III

V. t.: LÓGICA I; LOGÍSTICA.

JAMES G. COLBERT, IR.

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