Grupos, Teoría de

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Matemáticas

Generalidades. La t. de g. es aquella parte de la Matemática que tiene por finalidad el estudio de las propiedades de las estructuras algebraicas denominadas grupos.

Se llama g. a un conjunto (v.) de elementos, G, entre los cuales se ha definido una operación cualquiera, o, cumpliéndose determinadas condiciones más abajo indicadas. Se conoce con el nombre de operación o ley de composición a la ley que asocia a cada pareja de elementos (a, b) del conjunto, otro elemento c.

Las condiciones que deben cumplirse para que el conjunto G sea un g. respecto a la operación " son las siguientes: 1) Si los elementos a y b pertenecen al conjunto G, el elemento c, resultante de operar a y b mediante la ley ", también pertenece a G:a, b E G;a - b=csiendo c E G2) Propiedad asociativa: dados a, b, c, elementos de G, no necesariamente distintos, se cumple la igualdad de los resultados de operar mediante la ley -: a) el elemento resultante de operar a y b con c; b) a con el elemento resultante de operar b con c. Es decir,si a, b,ceG es (aob)oc=ao(boc)3) Existencia de elemento unidad: en el conjunto G, existe un elemento u, tal que el resultado de operarlo mediante la ley " con cualquier otro elemento a del G es el elemento a. A u se le llama elemento unidad de G respecto a la operación ". Es decir, existe u E G tal que si a E Ges u o a=a4) Existencia de elemento inverso: para cada elemento a del conjunto G, ha de existir otro elemento a’, también perteneciente a G y tal que al operarlo con a mediante la ley de composición -, dé como resultado el elemento unidad u. A a’ se le llama elemento inverso de a respecto a la operación -. O sea,para todo a E G existe a’ E G tal que a o a’= u Consideremos un ejemplo: sea el conjunto de los números enteros E y la suma ordinaria, +, como operación. Se cumplen entonces las cuatro propiedades de los g.: 1) 1,2EE; 1+2=3 y 3EE.

2)1, 2, 3 E Ey(1+2)+3=1+(2+3).

3)0 E E; 1 E Ey0+1=1 (0 es el elemento unidad).

4)1 E E; -1 E Ey1+(-1)=0.

Por tanto, el conjunto de los números enteros constituye un g. sumativo (o aditivo). Sin embargo, si consideramos el mismo conjunto, pero con respecto a la operación producto ordinario, X ,

1) 2,3EE; 2x3=6 y 6EE.

2) 2, 3,4 E Ey (2x3)x4=2x (3x4).

3) 1 E E; 2 E Ey 1 x 2=2 (1 es el elemento unidad).

4) 2 E Ey 2 X 1=1 peroE.

Luego por 4) no se trata de un g. multiplicativo, pues el elemento inverso respecto a la operación producto no pertenece al conjunto.

La propiedad asociativa se puede generalizar para más de tres elementos, siendo su enunciado general que el resultado de operar un número n de factores en un orden dado tiene un significado único, por lo que pueden suprimirse los paréntesis en su notación, pues el resultado es independiente del lugar por el que se comience a operar.

Unicidad del elemento unidad y del elemento inverso de otro. Es posible demostrar que el elemento unidad es único, pues si existieran dos elementos unidad u y v, se cumpliría:u " v= v, por ser u elemento unidadu=v,u " v=u, por ser v elemento unidadAsimismo es posible demostrar la unicidad del elemento inverso de uno dado respecto a una determinada operación.

Grupos abelianos. Cuando los elementos del g. cumplen la propiedad conmutativa, el g. se llama conmutativo o abeliano. La propiedad conmutativa expresa que el orden en que se tomen los elementos al operar no altera el resultado obtenidoa, b E G (abeliano) ==> a " b=b o aEn ocasiones esta propiedad no es satisfecha por todos los elementos del g., pero sí por algunos. Se dice, entonces, que estos elementos conmutan, o bien que son conmutativos aun dentro de un g. no abeliano.

Grupos infinitos. Son aquellos que contienen un número infinito de elementos. Se pueden citar los siguientes ejemplos:1) Los números racionales positivos forman un g. respecto del producto ordinario. En efecto: el producto de dos números racionales es racional, se cumple la propiedad asociativa, el número 1 es el elemento unidad y el inverso de un número racional también lo es, como se vio al estudiar si los números enteros formaban grupo multiplicativo. El g. es abeliano porque se cumple la propiedad conmutativa.

2) El conjunto de todas las integrales forma un g. abeliano respecto de la suma ordinaria. El elemento unidad es el número 0 y el resto de las propiedades no precisan aclaración (v. INTEGRACIÓN).

3) Las rotaciones alrededor de un punto fijo. Si un cuerpo rígido tiene libertad para moverse alrededor de un punto fijo ", cada desplazamiento del cuerpo es equivalente a una rotación (giro) de ángulo w, alrededor de una línea l que pase por 0. A tal movimiento se le asignará la notación A (1, w). Sea 13 (l’, w’) otro desplazamiento alrededor del punto 0: se definirá el desplazamiento producto AB, como el que resulta de aplicar sucesivamente los desplazamientos A y B. El conjunto de todos los desplazamientos de este tipo constituye un g. respecto a la operación producto arriba definida. El g.

no es abeliano porque el desplazamiento producto depende del orden en que se apliquen los desplazamientos elementales. En efecto, si se tiene una lámina (fig. 1), situada en el plano OXY y con el eje Z perpendicular al plano de la figura, los giros A(z, 7T/2) y B(x, 7r) son los indicados, representándose, además, los giros AB y BA; se observa que AB 7- BA.

4) Grupos de matrices (v.). Los siguientes conjuntos de matrices cuadradas forman grupo respecto a la operación producto matricial: a) las no singulares de orden n; b) las ortogonales en orden n; c) las ortogonales de orden n y determinante +1.

Grupos finitos. Son aquellos que contienen un número limitado de elementos. Se llama orden de un g. finito el número de elementos de que consta. Cuando se estudian g. finitos respecto a la operación producto, es preferible sustituir las propiedades generales de los g. por las que se expresan a continuación, que, siendo equivalentes, resultan más fáciles de comprobar: 1) El conjunto es cerrado respecto a la operación producto. 2) Se cumple la ley asociativa. 3) Se cumple la ley cancelativa, tanto por la derecha, como por la izquierda; esto es, dados dos elementos, a y b, pertenecientes al conjunto, para que se verifiquen las igualdades:ax=bx;ya =yb,siendo x e y elementos cualesquiera del conjunto, es preciso que a sea igual a b. Esto lleva consigo la existencia de elementos unidad e inverso.

Dado un grupo finito de orden n existirán nz productos diferentes de sus elementos dos a dos, siendo en ocasiones conveniente la elaboración de una tabla de multiplicar que permita en todo momento tener a la vista los nz productos diferentes.

Como ejemplos de g. finitos, se pueden citar los siguientes: 1) Los números1, i, -1, -i, (i=,í-1)forman un g. abeliano de orden 4 respecto a la operación producto ordinario. 2) Las seis funciones 1 x-1 1x fi=X; f2=1x; f3=- ; f4=- ; fs=1 -X; fa=x= 1,forman g. respecto a la operación sustitución; esto es,p. ej., 14(13) será el resultado de sustituir en la expresión de f4, x por la expresión de f3. Así se tendría f4(f3)=l/f3=lIX-1/x=x/x-1=fe.

El elemento unidad es la función fi=x.

En la fig. 2 se representan las tablas de multiplicar correspondientes a estos dos ejemplos.

Grupos cíclicos. Sea a un elemento de un g. finito, G, de orden g. Si se consideran las potencias a, az, a3, ... de a, por ser éste elemento de G, aplicando las propiedades de los g. se ve que la serie de potencias también son elementos de G. Pero por. ser el g. finito, esta serie de potencias no puede ser ilimitada. Por tanto, se ha de cumplira,t = a,n,siendon>m,de dondean-n,=2l.

Esto es, que en un g. finito alguna potencia de cada elemento es igual al elemento unidad. Al mínimo exponente p para el que se verifica que aP=u se le llama orden o periodo del elemento a.

Se puede entonces formar un g. cuyos elementos se pueden todos expresar como potencias de un elemento único a. A este tipo de g. se le conoce con el nombre de g. cíclico, siendo su forma:C(u, a, az, a3, ,a`-1),siendo c el mínimo exponente positivo tal que ac=u. A a se le llama elemento generador del g. cíclico G. Todos los g. cíclicos son abelianos. La operación considerada es el producto ordinario y son interesantes por su interpretación geométrica. En efecto: las rotaciones en un plano alrededor de un punto fijo 0, forman un g. cíclico, generado por la rotación de ángulo 27r/c. Cualquier punto al que se someta a esta operación c veces sucesivas vuelve a su posición inicial, tras describir un círculo completo, a lo que se debe el nombre de g. cíclico.

Subgrupo. Si se considera un subconjunto de un grupo G, puede suceder que sus elementos cumplan las propiedades de los g. o que no sea así. En el primer caso el subconjunto recibe el nombre de subgrupo. Los dos casos límites de subgrupos que se pueden formar a partir de un grupo G son: 1) El propio grupo; 2) el formado por el elemento unidad u únicamente. Es de observar que todos los sugrupos de un g. cíclico son cíclicos.

Producto directo. Dados dos grupos, GI, G, de órdenes respectivos 91, 92 es posible formar un nuevo grupo de orden81X82,al que se representa por GIxG2y se designa como producto directo de GI y G2. Sus elementos son todos los posibles pares de elementos que se pueden formar tomando un elemento de G1 y otro de G2. A estos elementos se les designa por (91,92).

En cuanto a la ley de composición se acepta que dada una operación o, y unos elementosal, b1 E GI; a2, b2 E G2, el elemento resultante de operar los(al, a2),(b1, b2), pertenecientes al grupoGIxG2será(al, a2) ° (b1, b2)=(a1 ° bl, a2 ° b2).

De esta forma queda automáticamente demostrada la ley asociativa, pues bastará que la cumplan los grupos GI y G2, lo cual sucede evidentemente.

El elemento unidad del grupo GIxG2 será el (ul, u2) siendo UI, u2, los elementos unidad de los grupos G1 y G2, respectivamente. El elemento inverso de uno dado será:(9I, 82)’=(g1’, 82’)siendo g1’, 92’ los inversos respectivos de gI y 92. El producto directo de dos g. abelianos es un g. abeliano. La operación producto directo que se ha definido para dos g. es susceptible de generalización: el producto directo de n gruposG1, G2, ..., G?tendrá elementos de la forma(gl, 92, ..., gn)donde91, 92,, gnson, respectivamente, elementos de los grupos GI, G2, ..., G_ La notación será :GIxG2x...xG?.

Grupos de permutaciones. En general se conoce con el nombre de permutación de orden n la operación de colocar n objetos distintos en un orden diferente (excepcionalmente en el mismo) del que ocupaban inicialmente. Por álgebra elemental se sabe que hay n! permutaciones de orden n. El conjunto de todas las permutaciones de n objetos forma un g. de orden n! , al que se llama g. simétrico de orden n. Se utiliza la siguiente notación: Sea el conjunto de objetos el representado por la serie numérica 1,2,3,. ,n.

La permutación PI alterará su orden, obteniéndose una nueva serie que se designará poral, a2, ..., an.

Una nueva permutación P2 alterará de nuevo el orden con lo que se tendrá la serieb1, b2, ..., bn.

Hay que hacer notar que las nuevas series no están constituidas por diferentes elementos sino por los mismos1, 2, . , n, sólo que tomados en un orden diferente. Entonces estas permutaciones se denotarán comoP1(n, an)P2(an, bn).

Se define la operación producto de permutaciones, expresando que la permutación producto de PI y P2, a la que se llamaráPl x P2,será la que sustituya la serie1, 2, .,npor lab1, b2, ..., bn, esto es, la que resulta de efectuar sucesivamente las permutaciones Pl y P2.

Recordando la notación arriba indicada pueden comprobarse con facilidad las propiedades de los grupos: 1) El producto de dos permutaciones es, por definición, otra permutaciónPI(n, an) X P2(a?, bn)=PI X P2(n, b?).

2) Se cumple la ley asociativa, pues dadas tres permutaciones y aplicando la definición de producto, se tiene:P1(n, an) x P2(an, bn)=PI X P2(n, bn);PI x P2(n, bn) x P3(bn, c?)=(PI x P2) x P3(n, cn); P2(an, bn) X P3(bn, cn)=P2 X P3(an, cn);PI(n, an) X P2 X P3(an, cn) = PI X (P2 x P3)(n, c,);luego (PI x P2) x P3= PI x (P2 x P3).

3) El elemento unidad es la permutación idéntica I que no altera el orden de la serie de elementos a la que es aplicada. Es, pues, de la forma I(n, n).

4) La permutación P’, inversa de una dada P(a?, bn) es de la forma P’(b?, a?), pues se cumple queP x P’=1.

Un tipo interesante de permutaciones son las circulares, que intercambian una serie de objetos de manera cíclica. Son de la forma:C(al, a2, .... a?; a., al, ..., an_,).

Los g. de permutaciones pueden ser transitivos o intransitivos, según contengan o no al menos una permutación que transforme cada elemento por otro diferente.

Otros conceptos fundamentales. En este apartado se incluyen las definiciones de una serie de conceptos necesarios para una mejor comprensión de la teoría de grupos:1) Elementos conjugados. Dos elementos a y b de un grupo G se dice que son conjugados respecto a G si existe un elemento t (elemento transformador) perteneciente también a G, tal que se cumple:t’oaot=b.

No es preciso que este elemento transformador sea único. 2) Normalizador. Los elementos de un grupo G que conmutan con un elemento dado, a, del mismo, forman un subgrupo N,, de orden nQ, al que se llama normalizador del elemento a.

3) Invariante. Si un elemento de un grupo G conmuta con todos los elementos de G se dice que es autoconjugado o invariante. En un g. abeliano todos los elementos son autoconjugados.

4) Todos estos conceptos pueden generalizarse a subconjuntos de un g. dado G; en efecto, sea K un subconjunto de G. Cualquier subconjunto de G de la forma X’KX se dice que es conjugado de K relativo a G. Los elementos de G que conmutan con K forman un grupo N llamado normalizador de K en G. Un subconjunto que conmute con todos los elementos de G se dice que es invariante o autoconjugado, por lo que en un g. abeliano todos los subconjuntos son autoconjugados.

5) Centro. El conjunto de todos los elementos autoconjugados de un grupo G, incluyendo el elemento unidad, es un g. abeliano Z, que se llama centro del grupo G.

6) Conmutador. Dados dos elementos s, t de G, se llama conmutador q al elemento q=s’ o t’ o s o t,que sólo coincidirá con el elemento unidad u en el caso de que el grupo G sea abeliano. Se llama g. conmutador al conjunto de todos los conmutadores de un grupo G, que forman g. Cuando el g. conmutador coincide con el propio grupo G, se dice que éste es perfecto.

Los grupos en Geometría. Sea una figura en un espacio tridimensional. Si se consideran sus rotaciones alrededor de un punto fijo 0, el conjunto de todas aquellas que llevan la figura a coincidir con su posición inicial es un g. indicativo de la simetría de que está dotada la figura. Si ésta carece de simetría alguna, el g. queda reducido a la transformación idéntica.

Los más importantes g. geométricos son los siguientes: 1) Grupo diédrico. Está constituido por las rotaciones, que aplicadas a un polígono de n vértices lo transforman en sí mismo. Su orden es igual a dos veces el número de vértices del polígono. En efecto (fig. 3) la rotación puede ser una de las n alrededor del eje perpendicular en el centro y de ángulo:0, 2-rr/n, 2x277/n, ..., (n-D2rr/n.

Las otras n rotaciones son de ángulo vr y de eje cada una de las n líneas que unen el centro con los vértices. En la figura se representa el caso de un hexágono.

2) Grupo tetraédrico. Es el formado por las doce rotaciones que hacen coincidir a un tetraedro consigo mismo, cuando gira alrededor de su centro.

3) Grupo octaédrico o hexaédrico. Ambos coinciden, pues los centros de las caras de un octaedro pueden considerarse como los vértices de un hexaedro o cubo y viceversa. Está formado por las 24 rotaciones de un octaedro alrededor de su centro, que le llevan a coincidir consigo mismo.

4) Grupo icosaédrico o dodecaédrico. El icosaedro y dodecaedro están relacionados de igual forma que el octaedro y el cubo. En este caso, el número de rotaciones que forman el g. es de 60.

V. t.: ÁLGEBRA; CONJUNTOS, TEORÍA DE.

J. CLEMENTE PUEYO S. FERNÁNDEZ DEL AMO.

BIBL.: R. D. CARMICHAEL, Introduction to the theory of groups of finite order, 1937; A. G. KUROSH, The theory of groups, 1955; W. LEDERMANN, introduction to the theory of finite groups, 1961; H. ZASSENHAUS, The theory of groups, 1958.