Elipse y Elipsoide

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Matemáticas

Elipse (fig. 1). Si en la ecuación de las cónicas (v.): aoo+altxi+a22 2+2ao,xl+2ao2x2+2al2XIx2=0(1) se verifica atlate ~ ] 0 a12 a22y signo (att)=signo aooao,a o2(a22)signo ao, al, ate ao2 ate a221 se obtiene la cónica denominada elipse. Se puede encontrar un sistema de referencia ortogonal, respecto del cual, su ecuación se reduce a:xi xz-+-=1(2) a2 a;La elipse tiene por ejes de simetría los coordenados y por centro el origen. a, y a2 se llaman semiejes y 2c (conc= 1/a2-a2en el supuesto de que al > a2) distancia focal. Los puntos FI(c, 0)yF2(-c, 0) son los focos; y los segmentos determinados por un punto de la elipse con los focos, radios vectores. La propiedad fundamental de la elipse (que se toma generalmente para definirla) es la siguiente: la suma de los radios vectores de un punto de la elipse es constante; esta constante es igual a 2a1 (eje mayor). Las polares de los focos respecto de la elipse son las directrices. La razón de distancias MF1 MD1 de un punto de la curva a un foco y a la directriz correspondiente es constante y valec al ,esta constante se denomina excentricidad y la propiedad suele tomarse para dar una definición métrica unificada de las tres cónicas: elipse, hipérbola y parábola; en la elipse esta constante es menor que la unidad.

La tangente en un punto de la elipse es bisectriz exterior del ángulo que forman sus radios vectores. El simétrico de un foco respecto de las tangentes a la elipse se encuentra en una circunferencia (circunferencia focal), que tiene su centro en el otro foco, y por radio el eje mayor 2al. La proyección del foco sobre las tangentes a la elipse se encuentra en una circunferencia concéntrica a la elipse y de radio al (circunferencia principal). El lugar geométrico de los puntos desde los cuales’ las tangentes a la elipse son perpendiculares es una circunferencia concéntrica con la misma (circunferencia de Monge), de radio-la1+a2 .

Elipsoide (fig. 2). Es la cuádrica (v.) de ecuación reducida:x1 x2 x3; +a2 +2 =1(3) respecto de un sistema de referencia ortogonal.

De la ecuación se deduce que tanto los planos coordenados, como los ejes coordenados, como el origen, son elementos de simetría de la superficie.

También de la misma se deduce la siguiente generación del elipsoide: Sean las elipses x2x3x3 x3 -+-=1 y -+-=1al a3a; a3xZ=0x, =0 Un plano paralelo al x3=0 corta a estas elipses en puntos M, N, P, Q. Sea E la elipse que tiene estos puntos por vértices. El lugar geométrico de estas elipses es el elipsoide (3). Las secciones de un elipsoide son o bien elipses reales, elipses imaginarias o pares de rectas imaginarias conjugadas; lo que permite clasificar los planos en secantes, exteriores, o tangentes, respectivamente. Existen también dos haces de planos paralelos que cortan al elipsoide según circunferencias. Los planos de estas dos familias que pasan por el centro, producen las secciones cíclicas. Todos los puntos de un elipsoide son puntos elípticos (el plano tangente corta a la cuádrica en un par de rectas imaginarias conjugadas).

El elipsoide posee cuatro puntos umbilicales (o cíclicos) en los puntos de contacto de los planos de las dos familias mencionadas que producen secciones cíclicas y que son tangentes al elipsoide. En ellos, la involución subordinada en el plano tangente por la polaridad respecto del elipsoide, es la involución rectangular. El elipsoide es una superficie cerrada. Son puntos exteriores aquellos desde los cuales el cono circunscrito al elipsoide es real; interiores, aquellos en que dicho cono es imaginario. El elipsoide aparece de una manera natural en algunas cuestiones de Física: problemas de elasticidad, elipsoide de inercia, etc.

V. t.: CÓNICAS; CUÁDRICAS.

L. ESTEBAN CARRASCO.

BIBL.: G. SALMON, Treatise on come sections, Nueva York s. L; H. LEBESGUE, Les coniques, París 1942; P. ABELLANAS, Geometría básica, Madrid 1961.