Dimensiones y Análisis Dimensional CIENCIA

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Ciencia

1. Generalidades y definiciones. Recibe el nombre de Análisis dimensional aquella disciplina que se ocupa del estudio de diversas propiedades de las ecuaciones físicas utilizando el concepto de dimensión. La dimensión es una propiedad inherente a toda magnitud física, que permite establecer una relación entre la magnitud dada y un número reducido de otras magnitudes que se denominan fundamentales. La naturaleza exacta de esta relación se pondrá de manifiesto más adelante. Indiquemos ahora, no obstante, que las denominadas fórmulas dimensionales expresan únicamente cómo han de transformarse ciertas unidades. El Análisis dimensional establece propiedades generales de las ecuaciones físicas y, en ocasiones, permite incluso prever la forma de alguna de éstas cuando la complejidad de la teoría o la falta de información adecuada impide el planteamiento tradicional; por otra parte, proporciona una visión profunda del significado de muchas teorías, explicando, p. ej., la diferencia entre constantes universales ineludibles y superfluas. Posee también utilidad desde el punto de vista práctico, ya que permite comprobar dimensionalmente las ecuaciones de una teoría y detectar posibles errores en su formulación.

Magnitud y cantidad. Un determinado atributo de los entes físicos es una magnitud física cuando es posible definir en forma única la razón entre las cantidades o cuantías respectivas de dicho atributo en dos entes físicos cualesquiera. Escribiremos entonces

(MI)

=MI2(1)

(M2)

donde (MI) y (M2) designan cantidades de una cierta magnitud M en los entes (1) y (2) y M12 la razón entre ambas, perfectamente definida. Dicha razón debe ser obtenida comparando por vía operacional ambos entes y, prescindiendo de dificultades técnicas, ha de ser universal, esto es, no debe depender de las circunstancias de la comparación. Así, p. ej., la velocidad, el momento cinético, la carga eléctrica, etc., son magnitudes físicas, pero no lo son el color, la dureza o la rugosidad; la temperatura puede considerarse magnitud física gracias a la existencia de la escala termodinámica de temperaturas.

La definición anterior de magnitud, y el concepto primario de cantidad, son anteriores a cualquier proceso de medida. Obsérvese que la cantidad de una cierta magnitud en un cuerpo, solamente puede expresarse numéricamente en forma relativa. Esto es, puede decirse que el cuerpo A tiene tres veces más longitud que el B (en rigor, debería decirse más cantidad de longitud, pero ello complicaría el lenguaje excesiva e innecesariamente) ya que repitiendo el B tres veces a lo largo del A se reproduce la longitud de éste (definición operacional de acuerdo con el significado de la fórmula [1]). Para medir una magnitud, se elige arbitrariamente una cierta cantidad de la misma, a la que se denomina unidad, y se le asocia por definición el número 1. La expresión (1) permite entonces asociar un número a cualquier otra cantidad de la magnitud en cuestión. Este número se denomina medida. En el ejemplo anterior, si se toma como unidad la longitud de B, es evidente que la cantidad de longitud de A será de tres unidades.

Constantes físicas. La Física se basa en una serie de postulados o leyes fundamentales, a partir de los cuales por razonamientos lógicos se obtiene el resto de la información. Dichas leyes fundamentales no tienen otra justificación que la del buen acuerdo entre la teoría y los resultados experimentales. Ejemplos bien conocidos son la ley de Planck, la de Coulomb, la fórmula de Einstein de equivalencia entre masa y energía, etc. Ahora bien, estos postulados tienen una característica común: todos ellos se reducen a simples relaciones de proporcionalidad entre potencias de las cantidades de las distintas magnitudes físicas que en ellos intervienen. Por ej., la ley de Lorentz afirma que sobre un cuerpo eléctricamente cargado y en movimiento, en presencia de un campo magnético normal a su trayectoria, aparece una cantidad de fuerza proporcional a las cantidades de carga, velocidad y campo magnético. Escribiremos, por tanto:

(f) ^- (q) (v) (B)(2) La expresión (2) es completamente universal y no hace referencia a un sistema específico de unidades. Para escribir la relación (2) en forma de igualdad (- es el signo de proporcionalidad), es preciso sustituir las cantidades de las distintas magnitudes que intervienen por sus medidas respectivas e introducir una constante de proporcionalidad k

f=kgvB(3) ecuación entre medidas y en la que la constante k depende del sistema de unidades empleado.

Las constantes análogas a la k de la ecuación (3) aparecen en todas las leyes físicas al pasar de cantidades a medidas. Sin embargo, su naturaleza puede ser muy diferente de unos casos a otros. En primer lugar, es, posible que dicha constante dependa de los cuerpos físicos que intervienen en el fenómeno, en cuyo caso se denomina constante específica. Por el contrario, si es siempre la misma, cualquiera que sea la naturaleza de los cuerpos físicos presentes, recibe el nombre de constante universal.

Podría pensarse que una elección adecuada del sistema de unidades podría conducir a la reducción de todas las constantes universales a la unidad (o a cualquier otro valor prefijado). Por ej., de acuerdo con (3), basta definir la unidad de fuerza como la que actúa sobre una unidad de carga que se mueve con la unidad de velocidad ortogonalmente a un campo magnético también unidad. Sin embargo, como muy bien hace notar 1. Palacios (o. c. en bibl.) esto no es posible, ya que no existen constantes suficientes para conseguir este propósito. Este autor analiza cuidadosamente la situación y llega a la conclusión de que entre las constantes universales existe un cierto número de ellas, denominadas ineludibles, cuyo valor no puede ser asignado por convenio y otras que no presentan esta característica y su medida puede ser fijada arbitrariamente. Una regla sencilla permite distinguir unas y otras: son ineludibles las que relacionan dos magnitudes inseparables entre sí (p. ej., masa y energía en un cuerpo, relacionadas por c; desplazamiento y campo eléctrico en un medio, relacionados por E; etc.) y son superfluas las demás. En nuestro ejemplo de la ecuación (3), la constante k es, por tanto, superflua.

2. Dimensiones. Consideremos una ecuación física en la que aparezca una constante superflua, p. ej., la (3). Si a la constante k se le asigna un valor arbitrario, digamos 1, la ecuación define la unidad de una de las magnitudes (fuerza en nuestro caso) en función de las restantes.

Si se fijan arbitrariamente todos los valores de las constantes superfluas de una teoría física, todo sistema de unidades compatible con dicha elección recibe el nombre de sistema coherente con el mencionado conjunto de valores. Aunque no se hace habitualmente mención explícita de tal circunstancia, se sobrentiende que las ecuaciones en las que la constante está fijada de antemano se refieren a sistemas de unidades coherentes.

Vamos a considerar ahora el conjunto de las leyes fundamentales de una teoría física escritas en un sistema de unidades U; coherente con los valores de las constantes universales superfluas C;. Designemos por x; las magnitudes físicas y constantes universales ineludibles. Se tiene:

a? a.,

a, xl... xn=Cl ........................(4) a,m a a

xl... xn?m =C

donde obviamente los exponentes a;; de las constantes universales ineludibles solamente pueden valer 0 ó + 1 y donde a; valdrá la unidad en aquellas ecuaciones que contengan constante superflua y cero en las restantes.

Tratemos ahora de encontrar la forma general de los sistemas de unidades coherentes con el anteriormente utilizado. Esto equivale a preguntarse por las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer las unidades U’; de las magnitudes y constantes ineludibles del nuevo sistema para que se conserve la coherencia. Escribamos para un sistema cualquiera U’;,

U;

[xJ=(5) U;

para la razón entre las unidades de la magnitud xc en uno y otro sistema. Por definición de medida, se tiene x;

[xil=x:

y sustituyendo en (4) resulta:

x’ ,i [xlla,, ... X’ a, [xnlñ?. =Ca, ..?Siam,[xlla?, .. Xri-,[xnla,,..,=Ca,,. nni Impongamos ahora la condición de coherencia del nuevo sistema. Se tiene inmediatamente

[xl]au ... [Xnla,,i =1 . [xlla,.- ... [xn]a..... = 1 que, tomando logaritmos, conduce a

al, log [xl]+...+a?l log [x?]=0 ..........................................(6) al- log [xll + .. ? +anni log [x,il =0

Este sistema, de acuerdo con el teorema de Rouché-Fróbenius (v.), suministra el valor de las variables x; en función de un cierto número d de ellas, dado por

d=n-k

donde n es el número de magnitudes físicas que intervienen en el proceso más el de constantes universales ineludibles y k la característica de la matriz del sistema (6). El conjunto de magnitudes cuyas nuevas unidades, de acuerdo con el razonamiento anterior, pueden elegirse arbitrariamente recibe el nombre de base. El número de las mismas, d, se denomina multiplicidad de la base. También se deduce inmediatamente que pueden elegirse como base d variables cualesquiera. Obsérvese que, en contra de opiniones extendidas, dicha elección puede recaer indistintamente en magnitudes físicas o en constantes universales ineludibles. Sean

Ix11, [X2], -- lXd]

las elegidas. A partir de (4) pueden despejarse los valores de las restantes variables que resultarán

[x,1+11=[x1V,d.i ... [xdladd,1 ....................................(7) IX,,] =[x1K,,...[xdYd,,

Las expresiones (7) reciben, por definición, el nombre de fórmulas dimensionales de las magnitudes y constantes

Los exponentes (3;;, a su vez, se denominan exponentes dimensionales o, simplemente, dimensiones de las magnitudes antedichas en la base

x1, ..., xd

El significado físico correspondiente es inmediato: las fórmulas dimensionales indican cómo han de cambiar las unidades de las diversas magnitudes y constantes cuando las de las fundamentales experimentan una transformación coherente.

La definición de dimensiones anteriormente dada es muy general. Sin embargo, es útil su conocimiento ya que, aunque en la práctica se suele operar con sistemas de base sencilla y casi siempre constituidos por las mismas magnitudes, existe un gran número de problemas en los que la consideración de bases alternativas introduce notables simplificaciones.

Como ejemplo, tomemos la formulación tradicional de la Mecánica. Sus leyes o postulados fundamentales son tres: proporcionalidad entre la fuerza f y la aceleración dIr/dt2; existencia de una fuerza gravitatoria entre dos masas gravitatorias mg situadas a distancia r; y, finalmente, proporcionalidad entre masa gravitatoria mA e inercial m;. Así, pues, se introducen cinco magnitudes f, r, t, m; y mg y la constante de gravitación G que es ineludible, ya que relaciona masa inercial con masa gravitatoria. Se ve inmediatamente que la característica de la matriz (6) es 3 y que, por tanto, la dimensión de la base es 6-3=3 (V. GRAVITACIÓN UNIVERSAL).

Por consiguiente, pueden elegirse libremente las unidades de tres magnitudes o constantes universales ineludibles. Tradicionalmente se suelen tomar como base las magnitudes longitudL , tiempo T y masa inercial M. Las ecuaciones dimensionales de las magnitudes y constantes mecánicas en dicha base aparecen en la primera columna de la Tabla 1.

Sin embargo, en ciertos sistemas conviene tomar otras tres magnitudes como base; p. ej.: fuerza F, longitud L y tiempo T. La segunda columna de la Tabla I muestra las dimensiones de las magnitudes mecánicas en dicha base.

Las ecuaciones de la forma (7) reciben el nombre de ecuaciones dimensionales y resultan de gran utilidad para la comprobación de la validez de una teoría. En efecto, de lo anteriormente expuesto, se deduce que una condición necesaria en toda ecuación física es que sus dos miembros tengan las mismas dimensiones. Así, pues, basta sustituir las fórmulas dimensionales (7) para las diversas magnitudes y constantes universales en la ecuación dada y comprobar la identidad en ambos miembros de los exponentes asociados a las distintas magnitudes fundamentales.

La ampliación de la teoría física considerada para incluir la Termodinámica obliga a introducir una nueva magnitud fundamental. Generalmente se suele elegir como tal la temperatura 0 de la escala termodinámica. Según que en la base dimensional se conserve la masa inercial o se sustituya por la energía W, se obtienen, respectivamente, las bases M, L, T y 0 o la L, T, 0 y W. En la Tabla 11 se incluyen las expresiones dimensionales de algunas magnitudes de interés en una y otra base. En lo que se refiere al electromagnetismo, la situación es análoga. Se introduce una nueva magnitud fundamental, usualmente la carga eléctrica Q o la intensidad eléctrica 1. La Tabla III, en sus dos columnas, recoge las expresiones dimensionales de varias magnitudes y constantes electromagnéticas de interés en los sistemas correspondientes MLTQ y MLTI. También se utiliza con frecuencia el sistema cgs. Desde el punto de vista del Análisis dimensional, este sistema prescinde de una dimensión fundamental, la carga, y transforma una constante universal, Eo, en superflua. Corresponde al caso denominado por Palacios base mutilada y, aunque no puede decirse que sea errónea, cabe afirmar que su utilización impide obtener toda la información posible del Análisis dimensional.

3. Teorema de pi. La formulación rigurosa de los problemas en Análisis dimensional se lleva a cabo mediante la aplicación del llamado teorema de pi. La demostración del mismo es compleja y puede encontrarse en las obras citadas en la bibliografía. Nos limitaremos aquí a enunciarlo de dos maneras equivalentes:

a) La forma más general de toda ecuación física

f(xi, ..., x?)=0(8) en la que intervienen medidas de magnitudes físicas xi, ..., x?, es la siguiente:

F(7r,, ..., 7r,,)=0(9) donde 7; son monomios independientes de dimensión nula

formados con las magnitudes x; que se denominan monomios 7r (pi). Cuando dichos monomios están formados por un cociente entre dos magnitudes de la misma dimensión se denominan factores de forma. Se dice que los monomios 7r; son independientes cuando ninguno de ellos puede obtenerse como expresión monomia de los restantes. El número de monomios independientes es h=n-k donde n es el número de magnitudes y k la característica de la matriz formada por los exponentes dimensionales de las magnitudes x; en una base cualquiera.

b) Cuando una ecuación física se escribe de tal forma que el número de variables interdependientes es mínimo, se verifica que cada una de dichas variables es adimensional, esto es, que sus dimensiones son nulas.

Aplicaciones. El teorema de pi constituye el fundamento para el tratamiento riguroso de los problemas de Análisis dimensional. Estos problemas son, en general, tanto más sencillos cuanto más pequeño es el número de monomios pi independientes.

El caso más sencillo es, evidentemente, el de k=1, que se reduce a la igualdad

7r=const(10) Un ejemplo es el del péndulo simple. Las únicas magnitudes que intervienen son su longitud 1, la aceleración de la gravedad g y el periodo T. En la base MLT la matriz correspondiente será

0 1 -0) 0 1 2 (0 0 1)

cuya característica es 2. El monomio adimensional correspondiente será:

(1/011 r

y la ecuación correspondiente será según (10) r=k(11g)1n

siendo k una constante.

El caso siguiente en complejidad lo constituye h=2, en el que la ecuación (9) conduce a

IT2=1P(7r1)(11) Un ejemplo típico lo constituye el problema del movimiento de un sólido con velocidad v en el seno de un

fluido viscoso incompresible. Sea 1 una dimensión lineal del sólido; p y n la densidad y viscosidad del líquido, respectivamente, y F la fuerza que aparece sobre el sólido. En la base MLT la matriz correspondiente será

v -~ 0 1 -1 1 -a 0 1 0 p 1 -3 0 77 ~ 1 -1 -1

F-~11- 2 cuya característica es 3.

Los dos monomios r independientes serán pv1F

7n77’7r2 _pv212

y de acuerdo con (11) se tendrá

F=kpa212f pvl(12)

donde

NR= pal/71

recibe el nombre de número de Reynolds y Í es una función arbitraria. El número de Reynolds aparece en gran cantidad de problemas de dinámica de fluidos y su expresión muestra con claridad que el fluido interviene en el fenómeno a través de la razón 7?/p que recibe el nombre de viscosidad cinemática.En otras ramas de la Física aparecen también monomios adimensionales cuyo papel es primordial y a los que se suelen denominar números ya que obviamente tienen un número asociado sin ambigüedad. Tal es el caso del número de Mach en aerodinámica y del de Prandú en conducción térmica.

Vamos a indicar, finalmente, la aplicación del Análisis dimensional a la teoría de modelos. Esta, de enorme interés práctico, estudia los fenómenos físicos en modelos o maquetas reducidas de un sistema problema y extrae así consecuencias que pueden aplicarse a este último. El fundamento de este análisis se encuentra en las ecuaciones (8) y (9). En efecto, un modelo de un sistema no es más que un conjunto de cuerpos físicos cuyos tamaños y posiciones relativas son idénticos a las del sistema original. Así, pues, si la ecuación de una ley física en el sistema original es de la forma (9), toda la información concerniente a los tamaños y posiciones de sus partículas constitutivas estará contenida en unos factores de forma que incluyen ángulos y distancias relativas a un origen tomando, p. ej., como unidad el diámetro total del sistema. Dicho diámetro, a su vez, estará contenido en algún monomio 7 que no será factor de forma. Según esto, la ecuación (9) se escribe,

F(71, ..., 7TI, WI, ..., w,)=0

Si de aquí se despeja uno de los monomios 7r, p. ej., el primero, se tiene

71=0(72,, 7I, wl,, w,)(13) Consideremos ahora un modelo reducido del sistema. Todos los factores de forma, por definición de modelo, serán

idénticos. A partir de (10) es, entonces, obvio que si se consigue que los monomios

7r2, . . . , 71

sean idénticos en el modelo y en el original, también lo será 71. Esta propiedad se conoce con el nombre de ley de semejanza. Se ve inmediatamente que para que pueda construirse un modelo es preciso que se pueda asignar a voluntad valores a l_I de los monomios 7. Puede demostrarse que esto sólo es posible si

1<2m.

V. t.: CONSTANTES FUNDAMENTALES; MEDIDA.

J. M. ROLO ALAMINOS.

BIBL.: 1. PALACIOS, Análisis dimensional, 2 ed. Madrid 1964W. K. DUNCAN, Physical similarity and dimensional analysis, Londres 1955.