Cuadricas TECNOL.

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Son superficies que aparecen, de una manera natural, en el estudio de diferentes problemas de física e ingeniería (elipsoide de inercia, superficies ópticas). También en las ciencias geográficas, el elipsoide se considera como una aproximación de la forma de la Tierra. Las c. de revolución se originan, sencillamente, al hacer girar una cónica alrededor de uno de sus ejes de simetría. Analíticamente, son las superficies representadas por una ecuación de segundo grado. Su estudio lo dividiremos en dos apartados:a) Cuádricas en el espacio proyectivo. En el estudio de la geometría proyectiva, las c. aparecen en numerosos problemas. Las regladas, como conjunto de rectas de intersección de planos homólogos, en dos haces de planos proyectivos. Las c. reales, como lugar geométrico de los puntos (y rectas) de intersección de elementos homólogos en dos radiaciones proyectivas. También en el estudio de las correlaciones en el espacio aparecen como lugar de los puntos incidentes con sus planos homólogos (c. de incidencia). Por último, constituyen el lugar de los puntos autoconjugados (incidentes en sus planos polares), en una polaridad en el espacio. Su ecuación (respecto de un sistema de referencias proyectivo) es de la forma:aooxoo+al,xi +a22x2 +a33x2 + 2ao,xox, + 2ao2xox2+ 2ao3xox3 ++ 2a,2XIxz+ 2a,3XIx~+ 2az3x2x3= 0, L 11 cuyo primer miembro es una forma cuadrática cuaternaria, no idénticamente nula, con coeficientes reales. La ecuación [11 se puede escribir más simplemente así:3a,ix,x¡=0, a;¡=aii. [21. o, en forma matricial:aoo aor ao2 ao3 xo ajo al, aj2 aja XI az0 a2t azz a23 xz a3o a3, a32 a33 x3Eligiendo convenientemente el sistema de referencia (basta tomar un tetraedro autoconjugado en la polaridad que define la c.), la matriz de la c. puede reducirse a forma diagonal:aoala2a3el número de los a; diferentes de cero es el rango de la c.; el valor absoluto de la diferencia entre el número de los a¡ positivos y negativos es la signatura de la misma.

Atendiendo a los valores del rango y de la signatura se obtienen los distintos tipos de c. siguientes:(4,4) : xó+xi+x2+x3=0, c. imaginaria.

(4,2) : xó+x2+x2x3=0, c. real no reglada.

(4,0) : x02= x2 x2X3 c. real reglada.

(3,3) : xó+xi+x2=0, cono imaginario.

(2,2) : xó+xi=0, par de planos imaginarios conjugados.

CUÁDRICAS(3,1) : xó+x¡+x;=0, cono real.

(2,0) : xóx¡=0, par de planos reales.

(1,1) : xó=0, plano doble.

La c. reglada real contiene (como es fácil comprobar mediante sustitución en la ecuación) las dos familias de rectas siguientes:a(xox2)+¡U(x3xi)=0 1) a(xax2)+w(x3+x,)0 x(x3+x,)+’&o+x2)=0 ( a(x3xl)+Wxo+x2)=0 (2) Dos rectas de la misma familia no se cortan. Las rectas de cada familia cortan a todas las de otra familia.

b) C. en el espacio afín. Son las superficies representadas por una ecuación de la forma:aoo+ lao,x1 + 2ao2x2 + 2ao3x3 + 2a,2XIx2 + 2al3XIx3 + +allx2+a22x2+a33x3 [41(en la que alguno de los coeficientes de los términos de segundo grado es distinto de cero). Eligiendo convenientemente el sistema de referencia afín, esta ecuación se puede reducir a uno de los tipos afines siguientes, que están caracterizados dentro de su tipo proyectivo (rango y signatura), por el rango y signatura de su cónica de intersección con el plano del infinito. ,(4,4)/(3,3) : a2+a¡x¡+azx2+a2x3=0, elipsoide imaginario. (4,2)/(3,3) : aó+a2xi+azx2+a2x3=0, elipsoide real. (4,2)/(3,1) : a2azx2azx2+a2x3=0, hiperboloide elíptico. (4,2)/(2,2) : azx2+azx2+2a3x3=0, paraboloide elíptico. (4,0)1(3,1) : aó+a2xi+azx2a2x3=0, hiperboloide reglado. (4,0)/(2,0) : a¡x¡aZxz+2a3x3=0, paraboloide reglado.

(3,3)/(3,3) : a x2+azx2+a2x3=0, cono imaginario.

(3,3)/(2.’ a2+azx2+azx2=0, cilindro imaginario.

(3,1)/(3,3) : a~x2+a2x2+a2x3=0, cono real.

(3,1)/(2,2) : aá+aixi+a2x2=0, cilindro elíptico.

(3,1)/(2,0) : aó+a2xia2xz=0, cilindro hiperbólico.

(3,1)/(1,1) : 2a,x,+azxZ=0, cilindro parabólico. (2,2)/(2,2) : aixi+a2x2=0, par de planos imaginarios no paralelos.

(2,2)/(1,1) : aó+a2xi=0, par de planos imaginarios paralelos.

(2,0)/(2,0) : a2x2a2x2=0, par de planos reales no paralelos.

(2,0)/(1,1) : aóa2xi=0, par de planos reales paralelos.

(1,1)/(1,1) : x¡=0, plano doble.

L. ESTEBAN CARRASCO.

BIBL.: P. ABELLANAS, Geometría básica, Madrid 1961; S. CÁMARA, Geometría analítica, 2 ed. Madrid 1941; G. L. WATSON, Integral Quadratic Forms, Cambridge 1960.