Campo Escalar

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Matemáticas

Un c. e. es una función real de variable vectorial: Y=f(x).

El dominio X es un conjunto de vectores (v.) y el recorrido Y es un conjunto de números reales. Si x pertenece a un espacio ndimensional sobre el cuerpo de los números reales (V. ÁLGEBRA), la función escalar es:

Y= 4(x1, x2, ..., xn),

que hace corresponder a cada punto (xi, x2, ..., xn) un número real. El nombre de c. e., tiene un origen físico; así, en un volumen de fluido, la temperatura en cada punto define un c. e., la densidad de un sólido en cada uno de sus puntos es otro c. e. Un c. e. será continuo, diferenciable, etc., cuando lo sea la función que lo define. Todas las propiedades de las funciones reales son, pues, propiedades de c. El conjunto de los puntos para los cuales el c. tiene el mismo valor c, es decir,

c=f(x1, x2, ..., xn),

es una superficie, que se denomina superficie de nivel. En los distintos tipos de c. e. físicos tales superficies tienen nombres particulares; así, en los c. de temperaturas son las isotermas, en los c. de presiones son las isobaras, etc.

Instrumento adecuado para el estudio de los c. e. y vectoriales (v.) es la integración sobre variedades, que en el caso de espacios de dos dimensiones es la integración sobre curvas, y en el tridimensional, sobre curvas y superficies. En el espacio euclídeo. un arco de curva A queda determinado por las ecuaciones paramétricas

x1=x1(0, x2=x2(t), x3=x3(t),

donde t varía entre a y b, y la integral curvilínea a lo largo de X de un c. e. dado f (respecto de la primera variable) es

b

f f(x1, x2, x3) dx1= f f(x1(t), x2(t), x3(t)) xí (t) dt. ha

Análogamente se definen las integrales respecto de las otras variables. Por medio de las integrales curvilíneas, a partir de un c. vectorial definido por

yt=fi(x1, x2, x3),(i=1, 2, 3)

se puede obtener un c. e.F(x1, x2, x3),

que es

xx

F(x1, x2, x3)=f ,f1(x1, x2, x3) dx1+f Zf2(x1, x2, x3) dx2+ ala=

f X3

+43(x1 x2, x3) dx3, a,

siempre que sea

af1 af2 afi af3 af2 af3 ’

42 axi ax3 axi ax3 ax2

pues entonces las integrales son independientes del camino que una (al, a2, a3) con (xi, x2, x3). Un c. vectorial que cumpla las condiciones anteriores, se denomina irrotacional y F es el potencial escalar.

E. LINÉS ESCARDÓ.

BIBL.: V. la de CAMPOS VECTORIALES.