Cálculo

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Matemáticas

CALCULO NUMÉRICO. Tiene por objeto determinar las soluciones numéricas de ecuaciones y problemas con error menor que cierta cota que no conviene sobrepasar. Los valores obtenidos son, pues, aproximados, y se llama error absoluto a la diferencia con el valor exacto. Los errores pueden ser de cuatro clases: a) de redondeo, que se produce al limitar el número de cifras conservadas; b) equivocaciones; c) errores en los datos cuando éstos no se pueden tomar exactos; y d) físicos o de observación. Frecuentemente, la parte más difícil del c. n. es la determinación del error de que pueden estar afectados los resultados. Con cada operación matemática, el c. n. proporciona reglas para obtener cotas de error del resultado a partir de las de los datos. Error relativo es el cociente del error absoluto por el valor exacto. El error relativo de un producto es la suma de errores relativos de los datos. El error relativo de una potencia es el producto del exponente por el error relativo de la base.

A cada capítulo del Análisis matemático corresponde otro del c. n., cuyo objeto es programar las operaciones a efectuar para obtener los resultados numéricos y el error con que pueden quedar afectados. Para ello se emplean las máquinas de calcular; unas son manuales o de mesa, otras electrónicas digitales, que por sí solas ejecutan sucesivamente gran número de operaciones en pequeñas fracciones de segundo, siguiendo siempre las instrucciones que se introducen en la máquina mediante teclado de consola, disquets o cintas en el código en que trabaja aquélla. (V. CALCULADORAS, MÁQUINAS; ORDENADORES, en Supl.). Cada máquina tiene su propio código o lenguaje, pero para comodidad de calculistas y científicos se han compuesto lenguajes de programación artificiales que las máquinas debidamente programadas pueden traducir a su propio lenguaje. Los lenguajes más usados son: FoRTRAN, coBOL, ALGOL, PLI, PASCAL; cada uno puede tener algunas variantes o dialectos según la máquina a la que se destina.

Para resolución de ecuaciones algebraicas (v. ECUACIONES), el c. n. da varios métodos; unos parten de una primera aproximación y la mejoran después por los llamados métodos de iteración: p. ej., puesta la ecuación en la forma x=F(x), si x1 es la primera aproximación, se van obteniendo las sucesivas xrc+1=F(xn); o bien en el método de Newton, conocido un punto xl, f (xl) próximo a un cero de f(x), se sustituye la curva por su tangente en aquel punto, y el cero de esta tangente será la segunda aproximación; o bien otro método, la regula falsi, parecido al anterior, pero tomando una cuerda en lugar de una tangente. Otros métodos aproximan simultáneamente todos los ceros del polinomio, como el de Graeffe, que calcula ecuaciones sucesivas cada una de las cuales tiene como raíces los cuadrados de las de la anterior.

El problema más frecuente y mejor estudiado de c. n.

es la resolución de sistemas lineales o de primer grado a¡1x1+...+apnx,t=bi,2=1, 2, ..., n, debido a que los propios métodos de c. n. reducen los otros problemas a uno de aquel tipo. Así ocurre en las ecuaciones diferenciales (v. DIFERENCIAS FINITAS), en problemas de mínimo de coste de ciertos conjuntos de operaciones (v. PROGRAMACIÓN LINEAL), caso en que algunas ecuaciones pueden ser desigualdades o inecuaciones. De los métodos para resolver sistemas lineales, el que mejor se presta al c. n. es el de reducción, que elimina sucesivamente cada una de las incógnitas. Siempre se añaden cálculos de comprobación, y los errores son elevados sólo en el caso en que el determinante del sistema tiene un valor pequeño, caso que se expresa diciendo que el sistema está mal acondicionado. Cuando interesa resolver varios sistemas con los mismos coeficientes a¡i y diferentes bi, se procede al cálculo de la matriz inversa (v. MATRICES) por un método compacto que es una adaptación del anterior. También se dan métodos para la obtención de valores y vectores propios de una matriz. En teoría de funciones son problemas: completar una tabla (v. INTERPOLACIÓN); el c. n. de integrales (v. INTEGRACIÓN) para el que se usan las fórmulas de los trapecios y la de Simpson

f b

f(x)dx= 2 (fo+2f2+...+2fn_I+fn),

a

J b f(x)dx 3 (fo+4fl+2f2+...+2fn_2+4fn_I+fn) a

donde

fo, f1, ..., fn,

son los valores de la función en

xo=a, xl=xo+h, ..., xn=xo+nh=b.

Para ambas fórmulas se obtiene una estimación del error del orden de h2 y h4 respectivamente. Para el c. n. en ecuaciones diferenciales, v. DIFERENCIAS FINITAS.

J. AUGÉ FARRERAS.

BIBL.: B. NOBLE, Numerical Methods, EdimburgoLondres 1964; I. S. BEREZIN y N. P. ZHIDKOV, Computing Methods, OxfordLondres 1965; D. D. MCCRACKEN y W. S. DoRN, Métodos numéricos y programación Fortran, ed. LimusaWiley, México 1966.