Biometría

Categoria:

Matemáticas

Historia y definición. La b. (etimológicamente de bios, vida, y metron, medida) constituye una rama de la Matemática estadística, que se aplica a la descripción y análisis de la variabilidad de los caracteres de los organismos. La b. se inició con un clásico estudio de Quetelet (1846) obre una muestra estadística ("población" en Biología) de más de 25.000 soldados canadienses. Más tarde (1901) el italiano Volterra extendía las aplicaciones de la Estadística y otras ramas de las Matemáticas al estudio no sólo biométrico de las poblaciones, estudio que se hace sobre datos de muestreo (medidas, etc.) hasta cierto punto estáticos, sino al estudio de la variación dinámica o equilibrio natural de esas poblaciones. En definitiva, la b. proporciona un método que sirve para medir, cuantificar y hacer comparables los datos obtenidos por el biólogo, con lo cual los resultados llegan a ser más objetivos y mensurables (Biología cuantitativa).

Población, muestreo y tabulación de datos. En b., población no es sólo un conjunto de individuos, sino un conjunto de hechos o de datos, representado en general por una serie de medidas. La población puede ser real o abstracta. Un número definido de observaciones sobre la población, p. ej., las tallas o estaturas de una serie de plantas, de un grupo de animales, de un conjunto de personas, constituye la muestra estadística. La toma de datos o muestreo debe responder a una serie de requisitos. En general ha de ser aleatoria, es decir, los datos obtenidos proceden de los individuos de la población, pero sin seleccionar a dichos individuos previamente, sino tomándolos al azar. Así, si se estudia el promedio de estatura de una población de reclutas (como hizo Quetelet) no se toman medidas de un solo tipo de individuos, los altos o los bajos. La población, para ser representativa, ha de tener un cierto tamaño n. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra (n=número de datos considerados), tanto menor será su variación aleatoria, es decir, será menos probable que los individuos de la población considerada hayan reunido, al azar, un conjunto de caracteres desviados del promedio. Por ej., en una población estudiantil grande (digamos n=1.000 individuos) habrá pocas probabilidades de reunir individuos todos altos o todos bajos; habrá un promedio de estaturas que será representativo de la población.

Los datos, para que sean manejables, habrán de presentarse de forma tabulada. Las tablas de datos deben recoger las medidas tomadas de modo homogéneo; p. ej., para la estatura en una población humana de cm. en cm. Cada grupo de medidas constituye una clase, representada por un valor central y. Los individuos de cada clase señalan su frecuencia. La relación entre la frecuencia y la muestra total n (f/n) constituye la frecuencia relativa.

Elaboración de datos; parámetros. Sea y la medida de un carácter; si disponemos de n datos podremos calcular la media aritmética.

1 n El valor medio de y para la totalidad de la población será a=E (y), que es un valor fijo que se denomina valor esperado. Se dice entonces que la media o valor promedio tc es un parámetro de la población; la media aritmética calculada y es una estimación de t¿. Cualquier valor calculado sobre los n datos de la muestra es un estadístico de la población.

A cada valor de y puede asociarse un valor y.. o desviación media. El promedio o valor esperado del cuadrado de las desviaciones de la población (o2) recibe el nombre de varianza, su valor es:

Q2=E[(Yt.¿)2].

Como la varianza depende de las desviaciones yI., se emplea para medir la variabilidad o dispersión de los valores de y en torno a la media. La varianza de la muestra será:

o.z = X(YY)2 n1 ’

lo cual puede considerarse como estimación estadística de la media de la población (t¿) cuando este valor se desconoce.

En la fórmula anterior el numerador E(yy)2 es la suma de los cuadrados de las desviaciones medias de la muestra. El valor medio S2, de repetidas muestras aleatorias, representa la varianza de la población, esto es:

v2=E(S2).

A o? (raíz cuadrada de la varianza) se le llama desviación standard.

De una muestra a otra los valores medios en general no son iguales, pero su variación es menor que la de los valores individuales y. En muestreos al azar de n observaciones la variable y, con media g tiene una varianza que es:

La varianza de Y es sólo l/n de la varianza de los valores individuales. Cuando n es grande la varianza de y es pequeña.

Distribución de valores y representación. Cuando examinamos la magnitud de cierto carácter, discreto o continuo, en una muestra, podemos observar su váriabilidad. Ésta puede ser mayor o menor, según que los datos se concentren más o menos, respectivamente, alrededor de la media. En general los parámetros de dispersión, y en especial la media y la varianza, pueden visualizarse mediante representaciones gráficas obtenidas sobre los datos de muestreo y su elaboración.

Las principales formas de representación de los datos de la variable que se estudie y sus correspondientes valores de frecuencia son: 1. Estigmogramas. Consisten en superficies punteadas, con densidad proporcional a la intensidad de la variable. Pueden servirnos para representar la densidad de una determinada especie en distintas regiones. 2. Diagramas de una dimensión. Se trata de construir una figura en la que una de sus dimensiones sea proporcional a la intensidad de la variable. Pueden ser verticales, proporcionales a la, intensidad de la variable. 3. Distribuciones de frecuencia. Son del máximo interés en b. Representan en abscisas los valores de la variable y en ordenadas los correspondientes valores de frecuencia. Pueden ser histogramas y polígonos de frecuencia, en los que los datos han de estar agrupados en clases. Se agrupan los valores de la variable utilizada en determinados puntos, equidistantes unos de otros, que se llaman puntos medios de la clase. Cada clase se define por su punto medio, o bien por sus límites, puntos que equidistan de dos puntos medios sucesivos. Pertenecen a una clase los valores de la variable comprendidos entre los límites inferior y superior de la clase. El número total de valores comprendidos se llama frecuencia de clase. Es fácil comprender cómo se construyen histogramas y polígonos de frecuencia.

La elección de clases y de escalas para la representación gráfica es cuestión de práctica y, en general, no ofrece dificultades. A partir de una escala aritmética pueden utilizarse otras en casos particulares, p. ej., una función del tipo y=ax (exponencial) se representa mejor utilizando valores logarítmicos en lugar de los naturales, ya que log y=x log a, con lo que la relación deviene lineal. Con papeles milimetrados, normales o logarítmicos, las representaciones gráficas se realizan muy fácilmente.

Distribuciones teóricas de mayor interés biológico. Cuando se examinan los datos de un muestreo y su distribución, se intenta observar su semejanza con alguna distribución teórica conocida (p. ej., la famosa curva de Gauss, de la distribución estadística llamada "normal" o "en campana"). De este modo se puede deducir, dentro de un cierto margen de error, si la distribución de la muestra se ajusta o no a la teórica.

Aparte la distribución normal y otras, existen tres tipos de distribución muy importantes para resolver problemas de muestreo y estimación. Son éstas la distribución x2 (jicuadrado), la t de Student y la F de Fisher; las dos primeras son las más utilizadas.

En la distribución de una variable aleatoria u, en que k

u= J (Xiffi) oi

=I

y en donde Xi tienen distribuciones normales independientes, de media i y varianza i2, tenemos una distribución jicuadrado, con k grados de libertad. Los grados de libertad se refieren al número de cuadrados independientes considerados en la fórmula. Se demuestra que la función de densidad de la distribución es:

1 1

F(u)=uk/2I eI/2 (u). (k/21)1 2k/2

La variable u suele designarse mediante el símbolo x2 y k

Xigi 2

x2=

0’1

En la distribución t de Student, de interés práctico ya que relaciona la varianza con la distribución normal, cuando x y u son independientes, tenemos:

t=

u/k

Además del problema de las distribuciones, en b., como ciencia estadística, deben confrontarse continuamente dos aspectos: los datos de la muestra, que es limitada, y los de probabilidad de una distribución dada; a esto se llama ajuste, y para los distintos casos han de utilizarse los datos que nos proporcionan tablas especiales, p. ej., en la obra de Fisher (v. bibl.) se recopilan muchas de las más utilizadas. V. t.: ESTADÍSTICA.

R. ALVARADO BALLESTER.

BIBL.: R. ALVARADO, Biología Matemática, "Publ. del Departamento de Zoología", Ser. B, 4, Univ. de Madrid 1967; N. T. J. BAILEY, The mathematical approach to biology and medicine, Londres 1967; 1. F. EGGLESTON, Problems in quantitative biology Londres 1968; D. 1. FINNEY, Experimental design and its Statis tical basis, Chicago 1968; R. A. FISHER y F. YATES, Tablas estadísticas para investigadores científicos, 3 ed. Madrid 1963; H. H. HOLMAN, Biological research method, 2 ed. Edimburg 1969; M. G. KENDALL y A. STUART, The Advanced Theory o Statistics, I, II y III, Londres 196769; M. LAMO=, Estadística biológica. Principios fundamentales, Barcelona 1965; D. M. MEs sicx (ed.), Mathematicall thinking in behavioral Sciences (Rea dings from "Scientific American"), San Francisco 1968; W. C ScHEFLER, Statistics for the biological Sciences, Menlo Park 1969; G. G. SIMPSON, A. RoE y R. C. LEWONTIN, Quantitative Zoology Nueva York 1960; E. WEBER, Grundriss der biologischen Statis tik, 5 ed. Jena 1964.