Lógica III. Sistemas Deductivos.

l. Introducción. Nos proponemos ofrecer una panorámica de los sistemas deductivos. La doctrina de la demostración es, desde Aristóteles, el principal objeto de la L. formal, hoy llamada también L. matemática (v. II).

Lo esencial de la deducción (v.) consiste en asociar a un conjunto de premisas sus conclusiones. Y son equivalentes, lógicamente, aunque difieran sus’ mecanismos concretos, las operaciones deductivas que desde las mismas premisas conducen a las mismas conclusiones. Se presenta, por eso, la deducción como un operador topológico (v. TOPOLOGfA), que articula el universo proposicional. Mas, para que interprete ceñidamente a la deducción lógica, hay que restringirlo, exigiéndole cumpla las leyes más obvias de la deducción.

Los conjuntos (v.) cerrados son las ciencias deductivas. La reiteración del operador deductivo nos da la teoría deductiva, con la que una ciencia queda estratificada. La estratificación, con el cardinal de cada estrato, determina el tipo estructural de la teoría. Y, mediante el isomorfismo (v. ÁLGEBRA) de sus teorías, podemos definir el tipo estructural de las ciencias deductivas.

La negación, operación lógica fundamental, asocia en binas las proposiciones opuestas. Cada una de ellas contesta a una misma cuestión dialéctica, nombre dado por Aristóteles a las preguntas cuya contestación es sí o no. Los conceptos de contradicción y decisión se refieren a conjuntos de proposiciones, dentro de la estructura de negación.

Juntas deducción y negación, se tienen estructuras mixtas. En ellas tienen sentido los importantes conceptos de consistencia e inconsistencia. Del isomorfismo de dos ciencias deductivas, resulta el concepto de inmersión de una ciencia en otra. Y, de esta inmersión, salen los criterios mayorantes y minorantes de consistencia e inconsistencia.

Refutar una proposición p, desde la ciencia consistente A, es manifestar la inconsistencia de (A, p). Es importante el concepto de prolongación de una ciencia deductiva consistente: lo es, de la ciencia A, la ciencia B, cuando, siendo consistente, la contenga.

El razonamiento o raciocinio (v.) tiene una finalidad: la investigación de la verdad. Verdad y falsedad parten en dos clases el universo proposicional. Combinadas verdad y deducción, se ligan por una ley conocida de antiguo: la deducción correcta, aplicada a la verdad, produce verdad (v.). Ello equivale a decir que el conjunto de verdad es deductivamente cerrado. La ley de no contradicción liga verdad y negación, pues se nos hace inconcebible que la realidad (v.) sea contradictoria. Tampoco concebimos que sean irreales las dos contestaciones a una misma cuestión dialéctica: es la ley del tercio excluso. Esta equivale a la no contradicción del conjunto de falsedad.

La construcción del conjunto de verdad, finalidad del razonamiento, puede hacerse combinando deducción con prolongación consistente.

Notaciones

a) operador proposicional de negación. Leído "no".

A conjunción de proposiciones. Leído "y".

V disyunción (no excluyente) de proposiciones. Leído "o".

implicación de proposiciones. Leído "implica". b) C es elemento de.

no es elemento de.

C incluido estrictamente en. S incluido en.

(n intersección de conjuntos. U reunión de conjuntos.

c) 0 conjunto vacío.

¡MI el cardinal del conjunto M.

w el primer ordinal transfinito de Cantor. Ro el primer cardinal transfinito de Cantor. X, ...números ordinales.

d)

(P

(X) teoría deductiva edificada sobre el conjunto X de proposiciones.

1(X) longitud de la teoría (X).

Xo ciencia deductiva cerrada edificada sobre X. 2. Estructuras deductivas. P es el universo de proposiciones.

X

<p.

P, es el sistema completo de los subconjuntos del P. El paso de X a X

A 1)

X c X(p.

En la deducción no se pierden las proposiciones de partida.

A 2)

(X C Y) ==> (X

Al ampliar el conjunto de premisas, no se reduce el conjunto de conclusiones. (Ley topológica de Riesz.) De la ley A 2), y designando con 0 al conjunto vacío, resulta que, para todo X,

09 c X<p.

Definición l. Los conjuntos cerrados de la estructura deductiva (P

Definición 2. Pondremos X

XrPa+1=(XrOa)~p.

Si, para el ordinal a, no existiera 13-1, pondríamos X,po= X(pi.

i<P

Definición 3. A la sucesión, no decreciente, de conjuntos de proposiciones,

XTO S Xw1 S X’P3 S ...,

hasta el cierre, la llamaremos teoría deductiva (X). Definición 4. Al ínfimo ordinal k, para el cual

X,P>,=XIPT+1,

lo designaremos por 1(X), y lo llamaremos longitud de la teoría (X).

Si, p. ej., 1(X)=3, la teoría (X) sería X00 C X

X

Es claro que X(pt(x) es una ciencia deductiva. Para abreviar, escribiremos

X~PI(x) =XO.

Definición 5. A los conjuntos

X, XO=X~P1-XIPO, X1=Xw2-XN1, ... los llamaremos estratos de la teoría (X).

Si existiera 1(X)-1, habría estrato último: el X

Si no existiera 1(X)-1, habría estratos para todo ordinal i < l(X) y no habría un estrato final en la teoría (X). Definición 6. Dos teorías (X) e (Y) son isomorfas, cuando, entre Xcp e Yip, haya una correspondencia biunívoca (el isomorfismo) que conserve la estratificación de las teorías (X) e (Y).

Es condición necesaria y suficiente, para el isomorfismo de (X) e (Y), que los estratos del mismo índice tengan el mismo número (cardinal) de proposiciones.

Definición 7. Si A fuera una ciencia deductiva, a los conjuntos soluciones de la ecuación

XO=A

los llamaremos bases de la ciencia deductiva A.

La estructura de inclusión (A1 C ), para el sistema A1 de las bases de A, es interesante y tiene un conjunto supremo, que es el A.

Obviamente, si X fuera una base de A, y XcYcA,

también Y sería base de A.

Combinatoriamente, podemos pensar (y todos los casos son realizables) que la estructura de inclusión, para las bases de A (que es una estructura de orden parcial, por lo general), 1) tenga ínfimo, 2) no tenga ínfimo. En este caso podemos pensar: 21) que tenga mínimos, 22) que no tenga mínimos.

Es claro que la base ínfima, cuando la haya, es irreducible, y está contenida en toda base. Una base mínima, cuando la haya, también es irreducible, mas, si no es ínfima, hay bases que no la-contienen. Cuando no haya bases mínimas, toda base es reducible, y el buscar bases de axiomas independientes es absurdo, pues no las hay.

Es claro que, si X e Y fueran bases de A, y X C Y, se tendría

1(X) >1 1(X).

Por tanto, al reducir una base, la teoría se alarga por lo general. En particular, l(A)=0.

Definición 8. Bases f infintas de A serán aquellas para las que

1(X) 5 w.

Si

1(X) < w,

la ciencia entera A se construye en un número finito de estratos mediante la teoría (X). Si

1(X) =w,

la teoría (X) tiene w estratos, pero a toda proposición de la ciencia A, se la alcanza en un número finito de pasos, desde la base X.

Definición 9. A cada proposición a E A, en la teoría (X) de A, corresponde un ordinal E(a, A, X), el índice del estrato en que aparece a dentro de la teoría (X) de A.

Las proposiciones de X~p. son aquellas a las que se llega en un número finito de etapas. Para llegar a las de A-Xww, hay que recorrer infinitas etapas.

Definición 10. Dos ciencias deductivas (A~p) y (A’

t(A<p).

Pondremos

t(A

Definición 16. Un operador deductivo 4, no es más débil que otro ~p, y escribiremos

w

cuando, para todo

XCP, X(PCXgÍ.

En particular, diremos que tp es más fuerte que -p, si, no siendo más débil, para algún

X S P, X,p C X(p.

3. La negación en su aspecto combinatorio-formal. La negación, tal como nos la ofrece nuestra intuición lógica, asocia dos proposiciones diferentes, las cuales se oponen mutuamente. Para traducirla con los signos, impondremos esta ley:

B 1) Sobre el conjunto P de proposiciones, se supone una clasificación en binas.. Por tanto, cada clase contiene dos proposiciones diferentes: dos clases no tienen jamás una proposición común; y entre todas las clases abarcan el universo proposicional P.

Solamente si

¡P¡ < Í`fo

y ¡Pl impar, no cabría esa clasificación.

Definición 17. A las proposiciones de un par (p, q), las llamaremos opuestas, y las consideramos como contestaciones de una cuestión dialéctica ¿m?. Escribimos asimismo

-, p=q.-, q=p.

El operador de negación --,, que asocia a cada proposición su opuesta, establece una correspondencia biunívoca e involutiva, sobre P, y que no tiene elementos dobles.

A la estructura de negación sobre P, la designaremos con (P-).

Problema. Calcular el número de estructuras (P que existen para un conjunto P, expresándolo mediante el cardinal ¡P¡ de P.

Definición 18. A los subconjuntos del P, que contengan un par de opuestos, los llamaremos contradictorios. A los restantes, no contradictorios.

El número de pares contradictorios que contenga un conjunto de proposiciones permitiría cuantificar la contradictoriedad del conjunto considerado.

Definición 19. Un conjunto de proposiciones A es decisivo cuando pise en todas las parejas de la estructura de negación.

Todo superconjunto de uno decisivo es contradictorio. Atendiendo a los conceptos de las definiciones 18 y 19, se tienen las cuatro clases siguientes para los subconjuntos de proposiciones:

Contradictorios no contradictorios

Decisivos 11 12

no decisivos 21 22

Los más interesantes son los de la clase 12. Pero no puede excluirse, a priori, la utilidad de las otras clases. Los de la clase 22 lo serán en muchas ocasiones.

Definición 20. Dos subestructuras (A -,) y (A’ -,) son isomorfas cuando exista una correspondencia biunívoca entre A y A’, el isomorfismo, que cambie pares de opuestas de una en pares de opuestas de otra, y recíprocamente. Escribiremos

t (A -1)=t (A’

refiriéndonos al tipo estructural de unas y otras.

Para esa identidad del tipo estructural es condición necesaria y suficiente que el número de pares de la una coincida con el de la otra, y que, asimismo, coincidan el número de elementos solteros de una y Otra.

Ejemplo: En (ab) (cd) (ef), son isomorfos (ab) cd y (cd) bf. Y son heteromorfos (ab) ce y (cd) (ef). Definición 2l. Una estructura de negación (A -,) es sumergible en otra (B -,), y escribiremos

t (A (B ~),

cuando en la segunda haya una subestructura isomorfa a la primera. Cuando sean mutuamente sumergibles, escribiremos

t (A -,) =’t (B

Si esta relación implica la identidad de los tipos estructurales, es problemático.

4. Estructuras deductivas con negación. Definición 22. Cuando el universo proposicional P soporte las dos estructuras, la deductiva y la de negación, hablaremos de una estructura (P

Estas estructuras tienen un interés lógico y matemático evidente. Importantes aspectos del pensamiento racional efectivo son interpretados por ellas con toda precisión.

Problema. Deducir, en función del cardinal de P, el número de estructuras deductivas con negación factibles sobre P.

Definición 23. Conjuntos inconsistentes de proposiciones, para una estructura (N -,), son aquellos X cuyo cierre deductivo, X

Evidentemente, todo conjunto contradictorio es inconsistente, mas no al revés. El problema de la consistencia, que suele ser importante, puede resultar dificultoso.

Como consecuencia de la ley de Riesz, si un conjunto es consistente, lo son sus subconjuntos. Asimismo, si un conjunto es inconsistente, lo son sus superconjuntos. Por tanto, sobre la estructura de inclusión (P, C), los conjuntos consistentes forman una sección inicial; los inconsistentes una final.

Combinatoriamente, podrían pensarse estructuras deductivas con negación sin conjuntos consistentes. En tal caso, la estructura (P

C 1) En la estructura deductiva con negación existen ciencias no contradictorias.

Una consecuencia inmediata de la ley de Riesz es que la ciencia ínfima, O?, edificada sobre el conjunto vacío, no es contradictoria.

Definición 24. Diremos que una ciencia A consistente, de la estructura (Mp ~), es improlongable (o saturada) cuando todo superconjunto del A sea inconsistente. En caso contrario, diremos que es prolongable.

Es claro que una ciencia consistente y decisiva es improlongable.

Consideremos la estructura de inclusión entre los conjuntos no contradictorios de (Mo ~): evidentemente, la reunión de los conjuntos de una línea completa es un conjunto no contradictorio. No es seguro, empero, que ese conjunto, el supremo de la línea, esté cerrado deductivamente; mas si lo estuviera, sería una ciencia consistente y decisiva, ya que todo superconjunto sería contradictorio.

Definición 25. Dos ciencias deductivas con negación (A,p ~) y (A’,p -,) son isomorfas cuando haya entre A y A’ una correspondencia biunívoca (isomorfismo) que lo sea, simultáneamente, de las estructuras (A(p) (A’,p), y de las (A -,) y (A’ -,). Escribiremos

t (Ap -, )=t (A’<p

Es claro que ambas son consistentes, o ambas contradictorias.

Definición 26. La ciencia (A w~) es sumergible en la (B,p -,) cuando haya en ésta una subciencia isomorfa a la primera. Escribiremos, para expresarlo,

t (Ap ~)S’t (B

Cuando la inmersibilidad sea mutua, escribiremos t (AW -,) =’t (B

Es problemático si coinciden los tipos estructurales de dos ciencias sumergibles una en otra.

Estos conceptos permiten formular los dos importantes criterios siguientes de consistencia e inconsistencia. Supongamos

t (Ap _)5’t (B (p

~)

Si la mayorante es consistente, lo es la mayorada (criterio mayorante de consistencia).

Si la minorante es contradictoria, lo es la minorada (criterio minorante de contradicción).

Es obvio, en consecuencia, que si se verificara t (Ap ~) =’t (Bm ~ ),

ambas ciencias son simultáneamente consistentes, o simultáneamente contradictorias.

Sea X una base no contradictoria de la ciencia consistente (Ap -,): en la teoría (X), existe un ordinal ínfimo de contradicción: el ínfimo, entre los e, para los cuales X,ol es contradictorio. Lo designaremos con c(X). Es claro que

c(X)

Cuando c(X) -que no puede ser, obviamente, un ordinal límite- supere a w, la inconsistencia de X no se alcanza con procesos finitistas. He aquí una causa de la dificultad del problema de la consistencia de un conjunto de proposiciones. Sólo cuando c(X) sea un ordinal finito, podría demostrarse la inconsistencia, con procesos finitistas, del conjunto de proposiciones X, mediante las reglas deductivas P.

Dada una cuestión dialéctica ¿p?, en relación a una ciencia deductiva A, combinatoriamente cabe pensar en los casos siguientes:

A

F p EE

EF (Z ~p E (F E

1 2 3 4

En el caso l°, la ciencia A sería contradictoria. En el 40 sería no-decisiva, con los mecanismos deductivos ~o. Definición 27. Suponiendo que A fuera una ciencia deductiva no contradictoria, y que la proposición p T A, refutar la proposición p, desde la ciencia deductiva A, sería demostrar (esta demostración ingenua, y al nivel del lenguaje explicativo; no se trata, por tanto, de una ,p-demostración) que A, p es inconsistente: o sea, que (A, p)0 es contradictorio.

Abreviando consistencia con C, e inconsistencia con I, en la hipótesis de que la ciencia A fuera consistente, combinatoriamente podrían pensarse los casos del cuadro siguiente, conexo al anterior:

A es consistente

p E T ~p T E A p C I C C 1 1 A~p 1 C C I C 1 2 3 41 42 43 44 A es prolongable A, Y sus prolongaciones, no-decisivas

En el caso 2 (el 3 es análogo), correspondiente al 2. del primer cuadro, por estar contenida p en A, el conjunto A, ~ p es contradictorio; por tanto, inconsistente. Debido a ello, no subordina más que un caso en el segundo cuadro. Evidentemente,

A=(A, p)O.

En correspondencia al caso 4 del cuadro primero, podemos pensar cuatro casos en el segundo. Y como los casos 41 y 44 son exclusivos del caso 4 del cuadro primero, podemos afirmar:

Si los conjuntos A, p y A, -, p son ambos consistentes, o ambos inconsistentes, las proposiciones p, ~ p, son ambas w-A-no-deducibles. Y la ciencia A es no-decisiva con los mecanismos deductivos m.

En el caso 41, la ciencia A admite las dos prolongaciones efectivas y consistentes

(A; p)~o,(A, ~ p)0.

O sea: A puede prolongarse con las dos contestaciones opuestas a la misma cuestión dialéctica ¿p?, que es indecidible, tanto por w-A-deducción, como por w-A-refutación.

Ciencias deductivas del caso 41 se conocen desde 1823. La cuestión dialéctica "¿hay precisamente una paralela a una recta, desde un punto exterior, en el plano que éste y la recta determinan?" no tiene contestación, ni por demostración, ni por refutación, basándose en las premisas geométricas anteriores (p. ej., las que, en los Grundlagen der Geometrie de Hilbert, v., preceden al postulado de las paralelas) con los mecanismos de la logische Schlüsse.

Y cuando, en la axiómática, se demuestra que los axiomas, de un sistema fundamental, son independientes, lo que quiere decirse es precisamente que tanto la afirmación como la negación de uno cualquiera de ellos es consistente con la ciencia edificada sobre los restantes. Y esta cuestión de la independencia fue examinada por Hilbert, con atención exquisita, en los §§ 10, 11, 12 de sus Grundlagen der Geometrie (7 ed. 1930).

Con extraño olvido de todo esto, R. Godement, en su Cours d’Algébre (1963) p. 28 (p. 34 de la versión española, Álgebra, Madrid 1967) asegura que "no se conoce actualmente ninguna cuestión indecidible". Hay, además, en esa afirmación, una evidente falta de precisión: sólo se puede hablar de "decisión" o "indecisión" refiriéndolas a una base proposicional y a unos mecanismos deductivos bien definidos. Hablar a secas de "lo indecidible" carece de sentido, como no lo tiene, en Geometría, hablar de problemas "irresolubles", sin decir con qué mecanismos constructivos.

La estructura de la casilla 41 permite afirmar:

Es condición suficiente, para que la cuestión dialéctica ¿p? sea ,p-A-indecidible, que sus dos contestaciones sean w-A-irrefutables.

Y es esto, precisamente, lo que han demostrado Gódel y Cohen para la cuestión

i2hFo=hf1?,

en relación a la ciencia deductiva conjuntista basada en los enunciados fundamentales de von Neumann-Bernays, utilizando los mecanismos deductivos del engerer Funktionenkalkul (cálculo funcional estricto).

Cantor preguntaba: "¿existe una correspondencia biunívoca, entre el conjunto de los números reales y el de los ordinales numerables?". GSdel y Cohen resuelven negativamente esta cuestión: "¿es refutable, mediante el engerer Funktionenkalkul, apoyándose en la base de von Neumann-Bernays, alguna de las contestaciones a la cuestión de Cantor?". La identificación de ambas cuestiones no parece muy admisible.

En lo finito, para las sucesiones de Peano, si n’ designa el término siguiente al n, cuando se trate de la sucesión completa de los números naturales, salvo el 1, ninguno cumple la igualdad

n?= 2n.

Pero en la sucesión de Peano

1, 21, 22, 24, 216, . ,

todos la verifican. Y es que las leyes de Peano no recogen todo el contenido intuitivo de la noción de número natural.

En el caso 42 (el 43 es análogo) A C (A, p)0 =B. La ciencia consistente B prolonga efectivamente a la ciencia A. Y siendo p necesaria en la base (A, p) de B, p es un axioma de B. Mas como no se puede asegurar que B-p no sea base de B, no puede afirmarse que p sea un postulado de la ciencia B.

En el caso 44, combinatoriamente pensable y realizable, no solamente A no sería decisivo, sino todas sus eventuales prolongaciones consistentes. Mas como, en la interpretación lógica de las estructuras deductivas con negación, el caso 44 se presenta como muy extraño, parece interesante estudiar aparte las estructuras (pop ~) en las que se lo excluya. Esta consideración hace plausible imponer a las estructuras (P(p -,) la siguiente ley:

C 2) Ninguna ciencia consistente de (P(o ~) es simultáneamente inconsistente con las dos contestaciones a una misma cuestión dialéctica de P.

Equivale a dicha ley la siguiente implicación: A consistente A (A, -, p)0 inconsistente ==> (A, p)W consistente.

En particular, puesto que 0 es consistente, resultará (-, p)¿p inconsistente ==> (p)0 consistente.

Otra consecuencia de C 2) sería la siguiente:

A consistente A (A, ~ p, q) inconsistente A (A, -1 p, , q) inconsistente ==> (A, -1 p) inconsistente

==> (A, p) consistente.

En las estructuras (P

La demostración, al nivel del lenguaje explicativo, por tanto, ingenua, es la siguiente: Sea M uno de ellos. Puesto que

MEMA

es consistente, la hipótesis de ser M un máximo de consistencia excluye M C Mo. Por tanto,

M=Mo.

Luego M es una ciencia deductiva de (P,o _). Caso de que ni p ni ~ p aparecieran en M, por la ley C 2), uno de los dos (M, p) o (M, ~ p) sería consistente, y M sería efectivamente prolongable: contra la hipótesis de ser M un máximo de consistencia.

Como las ciencias consistentes y decisivas son conjuntos consistentes maximales, resulta:

El sistema de ciencias consistentes y decisivas de (P,p -,) coincide con el de ciencias consistentes maximales.

De todo lo dicho últimamente, para las estructuras deductivas con negación, obedientes a la ley C 2): Toda ciencia consistente de (P,p -,) puede prolongarse hasta una ciencia consistente y decisiva.

5. La verdad en su exterioridad expresiva. Desde el punto de vista mecánico, que se atiene a la expresión con signos sensibles del pensamiento, la verdad se traduce por una selección, dentro del universo proposicional P, de un conjunto, el W, integrado por las proposiciones verdaderas. Este determina su complementario P-W=F, de las no verdaderas o falsas. El problema de la verdad, para una proposición p, lo formula esta pregunta dialéctica: ¿p es verdadera? Dicho de otro modo:

¿p E W?

Para interpretar la verdad, según lo dicho, vale cualquier bi-partición (W, F) del universo proposicional P. Y como la realidad evoluciona con el tiempo, y los enunciados que la formulan son ya verdaderos, ya falsos, cabría considerar que dicha bi-partición dependa del tiempo. Pondríamos, por tanto (W(t), F(t)).

La ley de esta bi-partición será: D 1)

(w n F=0) A (w u F=P).

Dado un sistema de proposiciones, cabe calificar de verdadero al sistema cuando lo sean todas sus proposiciones. Buscando más finura, para los no íntegramente verdaderos, cabría definir una cuantía de verdad: sería la relación entre las verdades y el total de proposiciones contenidas en el sistema. La pregunta, relativa a la verdad de un sistema de proposiciones, ya no sería dialéctica, sino ésta: ¿cuál es la cuantía de verdad del sistema? Es claro que en las ciencias físicas, y en las humanas, en la Historia, p. ej., sería absurdo pretender que un libro haya conseguido la verdad de su contenido total.

A la estructura de bipartición sobre P, que traduce la verdad y falsedad, la designaremos con el signo (P, W).

6. Estructuras deductivas valoradas con verdad y falsedad. Conjugando la estructura deductiva con la bipartición del conjunto proposicional P, tenemos la estructura mixta (P(pW). La observación de nuestro propio pensamiento racional nos proporciona la ley que debemos imponer a esta estructura (MpW), si queremos que los sig

Nos resulta inconcebible que la realidad de un instante sea contradictoria. Para traducir esta ley óntica de nocontradicción, tendremos que imponer, a la doble estructura (P, ~, W), la ley:

F 1) W es un conjunto no-contradictorio.

En la lógica de nuestro pensamiento, que es la que tratamos de expresar mediante los signos sensibles para comunicarnos con los demás, tampoco podemos concebir la falsedad simultánea de dos proposiciones opuestas. En consecuencia, impondremos a (P, -,, W) la ley:

F 2) F es un conjunto no-contradictorio.

Porque la traduce, la llamaremos ley ontológica del tercio excluso, pues no concebimos tercio entre la afirmación y la negación de lo mismo.

Juntas las dos leyes, sólo nos resta la casilla 4 del cuadro anterior. Las dos clases, W y F, son decisivas para cualquier cuestión dialéctica. Son, por tanto, clases saturadas sin contradicción.

Congloba las dos leyes esta otra: El conjunto de verdad

nos interpreten la marcha del pensamiento. En una deducción lógicamente correcta, jamás se obtienen conclusiones falsas de premisas verdaderas. Esto equivale a decir que el conjunto de proposiciones verdaderas está cerrado deductivamente. Dicho de otra manera: que el conjunto de las proposiciones verdaderas es una ciencia de la estructura deductiva (Pw). En signos:

E 1)

W~o = W.

Como consecuencia de la ley de Riesz, resulta que si X c W,

también

XO S W.

Por tanto, si XO contuviera alguna proposición falsa, también la contendría X. En particular: si X fuera una base de proposiciones verdaderas, y p designara una proposición cualquiera, si (X, p)w contuviera alguna proposición falsa, se seguiría que p era también falsa. Contamos así con un medio para averiguar deductivamente la falsedad de p.

Si W estuviera íntegramente constituido por postulados (cosa combinatoriamente pensable, y aun realizable) la ciencia W no tendría más base que W. El dominio completo de la verdad no sería estrictamente deducible. Esto nos advierte que no interpretan adecuadamente con los signos la lógica natural quienes se empeñan en identificar verdad con deducibilidad.

También está contra esa confusión el que la clasificación (W, F), del universo proposicional, puede fijarse de antemano, eligiendo W entre las ciencias deductivas de (Pw). Y solamente para esa ciencia valdría la identificación dicha, mas no para las subciencias de la W.

7. Estructuras de verdad con negación. Consideremos ahora la doble clasificación de P, según verdad y falsedad, y según las parejas de oposición. Designáremos a esta estructura con el signo (P, ", W). Combinatoriamente caben los casos señalados en la tabla siguiente

W es un conjunto no contradictorio y decisivo de proposiciones.

8. Estructuras deductivas con negación y verdad. Hemos llegado a la estructura múltiple, que parece acomodarse mejor a nuestro pensamiento racional: la (P, (p, ~, W), regida por todas las leyes A, B, C, D, E, F.

Todas las ciencias contenidas en la W están, como ésta, exentas de contradicción. Las restantes ciencias no contradictorias contienen proposiciones falsas. Esto muestra que consistencia y verdad son conceptos diferentes para estas estructuras (P, w, ~, W), que son las que parecen adecuarse más ceñidamente a la realidad lógica de nuestro entendimiento.

He aquí las leyes de las estructuras deductivas, con negación y verdad:

A1) X9X~o.

A 2) X C Y =-> X~p C Y(p.

B 1) Para toda p E P, existe, y es única, ~ p E P.

LóGICA III - LOGISTICA MILITAR

B2) p:A -, P.

B3) -, -,p=p.

C 1) O¿p no es contradictoria.

C 2) (X, p) inconsistente A (X, ~ p) inconsistente =:> X inconsistente.

D1) (WnF=0)A(WUF=P). E 1) W(p= W.

F 1) W es no-contradictoria.

F 2) F es no-contradictoria.

9. Construcción deductiva del conjunto de verdad. La averiguación de la verdad, mediante un proceso deductivo, es quizá el fruto que pretende el razonamiento. Se trata de construir, mediante deducciones y prolongaciones, el conjunto de la verdad. He aquí el proceso natural:

Tomamos un subconjunto X, cuya verdad conozcamos, ya por experiencia, ya por evidencia. Por tanto, X S W. Por deducción, en un número finito o infinito de etapas, obtendremgs

mp S W.

Si

X¿ p C W,

examinaríamos una cuestión dialéctica no decidida dentro de XO. Si logramos refutar una de sus contestaciones -, p,, o sea, conseguimos cerciorarnos de que (X, -, pI) es inconsistente, aplicando C 2), sabremos que (X, pi) es consistente. Construimos deductivamente (X, pI)w: tendremos X¿P C (X, PI)O C W.

Reiteramos el proceso con otra cuestión dialéctica no decidida en (X, pl)¿P, que la hay si no hubiéramos conseguido que

(X, PI)0=W.

Tendríamos así

XO C (X, PI" C (X, PI, PZ)0 c W.

Continuando de esta manera, como se ve por aplicación reiterada de la deducción y la prolongación, construiríamos el conjunto W, en un número finito o infinito de etapas. Se trata de una cadena de ciencias ordenada por prolongación. La prolongación se realiza, precisamente, por refutación, por reducción al absurdo de una contradicción. Y no es una simpleza de Balmes, como aseguraba Unamuno, lo de "las funestas consecuencias del ateísmo", porque la refutación de una proposición nos permite agregar la opuesta, y volver a empezar, sobre la nueva base, el proceso deductivo. Y es pensable combinatoriamente, y probablemente es también factible, un modelo en el cual, siendo todas las proposiciones de W postulados (por tanto, estrictamente no deducible el conjunto de verdad W) se pueda construir W desde un subconjunto estricto, mediante el proceso de prolongación basado en la refutación.

V. t.: ÁLGEBRA; ARITMÉTICA.

N. CUESTA DUTARI.

BIBL.: Véase la del artículo anterior (II), y: G. AsSER, Einführung in die mathematische Logik, Leipzig 1965; l. M. CopI, Introducción a la Lógica, Buenos Aires 1967; H. HERMES y H. SCHOLZ, Mathematische Logik, en Enzyklopádie der Mathematische Wissenschaft, I,1, Leipzig 1952; D. HILBERT y W. ACKERMANN, Elementos de Lógica teórica, Madrid 1962; l. LUKASIEwicz, Elements of mathematical Logic, Varsovia 1963;